Question

1．如圖所示．質量M=4kg的小車放在水平面上．在小車右端加一F=16N的水平恒力，當小車向右運動的速度達到4m/s時，在小車前端輕輕地放一個大小不計頂量為m=4kg的小物塊，物塊與小車間的動摩擦因數μ₁=0.1，小車與水平面間動摩擦因數μ₂=0.2，恒力F作用5s后撤去．求：
（1）當小車速度是4m/s時，小車運動了多長時間？
（2）小物塊m放上小車之后，小車加速度的大小和方向？
（3）恒力F撤去時，小車的速度是多大？
（4）要保證物塊m不掉下來，小車至少多長？
（5）整個過程中小物塊m前進的位移是多大？
（6）物塊最終停在小車的什么位置．

Answer 1

分析 （1）對小車運用牛頓第二定律求出加速度，根據速度時間關系式求出時間
（2）m放上小車后，對小車運用牛頓第二定律求出加速度大小和方向
（3）分別對滑塊和平板車進行受力分析，它們都只受到滑動摩擦力的作用，根據牛頓第二定律求出各自加速度，物塊在小車上停止相對滑動時，速度相同，之后以相同速度做勻減速運動；
（4）滑塊做勻減速運動，小車做勻加速運動，當它們速度相等時一起向右做勻速運動，分別求出兩個運動的位移即可解題．
（5）小滑塊先做勻加速運動，當速度和小車速度相等后做勻速運動直到撤去F，撤去F后整體一起做勻減速直線運動，根據運動學公式求出各個過程的位移
（6）物塊最終停止的位置即物塊相對小車的位移

解答 解：（1）對小車受力分析，根據牛頓第二定律得：
$F-{μ}_{2}^{\;}Mg=M{a}_{M}^{\;}$
代入解得：${a}_{M}^{\;}=\frac{F-{μ}_{2}^{\;}Mg}{M}$=$\frac{16-0.2×40}{4}=2m/{s}_{\;}^{2}$
當小車速度是4m/s時，小車運動時間${t}_{1}^{\;}=\frac{v}{{a}_{M}^{\;}}=\frac{4}{2}s=2s$
（2）小物塊放上小車后，小物塊受到的滑動摩擦力向右，對木板受力分析，水平方向受到小滑塊向左的摩擦力，地面向左的摩擦力和水平恒力F的作用，根據牛頓第二定律有：
$F-{μ}_{1}^{\;}mg-{μ}_{2}^{\;}（M+m）g=M{a}_{M}^{′}$
代入數據：$16-0.1×40-0.2×80=4{a}_{M}^{′}$
解得：${a}_{M}^{′}=-1m/{s}_{\;}^{2}$
即小車的加速度大小為$1m/{s}_{\;}^{2}$，方向水平向左
（3）對滑塊，${μ}_{1}^{\;}mg=m{a}_{m}^{\;}$
得${a}_{m}^{\;}={μ}_{1}^{\;}g=1m/{s}_{\;}^{2}$
設經過時間${t}_{2}^{\;}$，小物塊和木板速度相等
$v+{a}_{M}^{′}{t}_{2}^{\;}={a}_{m}^{\;}{t}_{2}^{\;}$
代入數據：$4-{t}_{2}^{\;}={t}_{2}^{\;}$
解得：${t}_{2}^{\;}=2s$
2s后M與m相對靜止，$F-{μ}_{2}^{\;}（M+m）g=（M+m）a$
代入數據：16-0.2×80=8a
解得：a=0
2s后M與m一起做勻速直線運動
速度為$v={a}_{m}^{\;}{t}_{2}^{\;}=1×2=2m/s$
所以恒力F撤去時，小車速度是2m/s
（4）小物塊放上木板上后，小物塊的位移${x}_{m}^{\;}=\frac{v}{2}{t}_{2}^{\;}=\frac{2}{2}×2=2m$
木板的位移：${x}_{M}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}+v}{2}{t}_{2}^{\;}=\frac{4+2}{2}×2=6m$
小車的長度至少為$△x={x}_{M}^{\;}-{x}_{m}^{\;}=6-2=4m$
（5）恒力F作用5s后撤去，撤去后，整體做勻減速直線運動
${μ}_{2}^{\;}（M+m）g=（M+m）a′$
得$a′={μ}_{2}^{\;}g=0.2×10=2m/{s}_{\;}^{2}$
撤去F后，整體勻減速直線運動的位移$x′=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2a′}=\frac{{2}_{\;}^{2}}{2×2}=1m$
恒力F作用的后3s內的位移${x}_{m}^{′}=vt′=2×3=6m$
整個過程中m的位移x=2+6+1=9m
（6）物塊最終停在小車的右端4m處
答：（1）當小車速度是4m/s時，小車運動了2s時間
（2）小物塊m放上小車之后，小車加速度的大小1$m/{s}_{\;}^{2}$和方向向左
（3）恒力F撤去時，小車的速度是2m/s
（4）要保證物塊m不掉下來，小車至少4m
（5）整個過程中小物塊m前進的位移是9m
（6）物塊最終停在小車的位置距右端4m處．

點評 該題是相對運動的典型例題，要認真分析兩個物體的受力情況，正確判斷兩物體的運動情況，再根據運動學基本公式求解，難度適中．