Question

圖（a）所示的xOy平面處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與xOy平面(紙面)垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的周期為T，變化圖線如圖（b）所示。當(dāng)B為+B₀時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向指向紙外。在坐標(biāo)原點(diǎn)O有一帶正電的粒子P，其電荷量與質(zhì)量之比恰好等于。不計(jì)重力。設(shè)P在某時(shí)刻t₀以某一初速度沿y軸正方向自O(shè)點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，將它經(jīng)過(guò)時(shí)間T到達(dá)的點(diǎn)記為A。

（1）若t₀=0，則直線OA與x軸的夾角是多少？
（2）若t₀=T/4，則直線OA與x軸的夾角是多少？
（3）為了使直線OA與x軸的夾角為π/4，在0< t₀< T/4的范圍內(nèi)，t₀應(yīng)取何值？是多少？

Answer 1

（1）0（2）（3）

（1）設(shè)粒子P的質(zhì)量為m，電荷量為q，速度為v，粒子p在洛倫茲力作用下，在xy平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，用R表示圓周的半徑，T’表示運(yùn)動(dòng)周期，則有
①
②
由①②式與已知條件得：③
粒子P在t=0到時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)半個(gè)周期，到達(dá)x軸上B點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)方向反轉(zhuǎn)；繼而，在到t=T時(shí)間內(nèi)，沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，到達(dá)x軸上A點(diǎn)，如圖（a）所示

OA與x軸的夾角④
（2）粒子P在時(shí)刻開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，在到時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)個(gè)圓周，到達(dá)C點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)方向反轉(zhuǎn)；繼而，在到t=T時(shí)間內(nèi)，沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)再次反轉(zhuǎn)；在t=T到時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)個(gè)圓周，到達(dá)A點(diǎn)，如圖（b）所示

由幾何關(guān)系可知，A點(diǎn)在y軸上，即OA與x軸夾角⑤
（3）若在任意時(shí)刻粒子P開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，在到時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)，圓心O’位于x軸上，圓弧OC對(duì)應(yīng)的圓心角為⑥
此時(shí)磁場(chǎng)方向反轉(zhuǎn)；繼而，在到t=T時(shí)間內(nèi)，沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)再次反轉(zhuǎn)；在t=T到時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針?lè)较蜃鲌A周運(yùn)動(dòng)到達(dá)A點(diǎn)，
設(shè)圓心為O’’，圓弧BA對(duì)應(yīng)圓心角為，如圖（c）所示。

由幾何關(guān)系可知，C、B均在連線上，且
若要OA與x成角，則有
聯(lián)立解得