Question

【題目】如圖為某種魚(yú)餌自動(dòng)投放器中的投餌裝置示意圖，其上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口與水平方向垂直，下半部AB是一長(zhǎng)為2R的豎直細(xì)管，AB管內(nèi)有一原長(zhǎng)為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧．投餌時(shí)，每次總將彈簧長(zhǎng)度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上端投放一粒魚(yú)餌，解除鎖定，彈簧可將魚(yú)餌彈射出去．設(shè)質(zhì)量為m的魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)，對(duì)管壁下側(cè)的壓力為mg．不計(jì)魚(yú)餌在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的機(jī)械能損失，且假設(shè)鎖定和解除鎖定時(shí)，均不改變彈簧的彈性勢(shì)能．已知重力加速度為g．求：

(1)質(zhì)量為m的魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小v1；

(2)彈簧壓縮到0.5R時(shí)的彈性勢(shì)能Ep；

(3)已知地面與水面相距1.5R，若使該投餌器繞AB管的中軸線OO′在180°角的范圍內(nèi)來(lái)回緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，每次彈射時(shí)只投放一粒魚(yú)餌，魚(yú)餌的質(zhì)量在m到m之間變化，且均能落到水面．持續(xù)投放足夠長(zhǎng)時(shí)間后，魚(yú)餌能夠落在水面的最大面積S是多少？

Answer 1

【答案】(1)v1= (2) Ep=2.625mgR (3)S=4.875πR2

【解析】

(1)魚(yú)餌過(guò)C點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：mg-mg=m

解得：v1=

(2)由能量守恒定律得：EP=mg（2R+0.5R）+mv12

解得：EP=2.625mgR

(3)從管口到水面的時(shí)間：t===3

魚(yú)餌的質(zhì)量為m時(shí)：x1=v1t=R

魚(yú)餌的質(zhì)量為m時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理得：EP-mg（2R+0.5R）=mv22

解得：v2=

水平位移：x2=v2t=3R

又：r1=x1+R=R

r2=x2+R=4R

面積：S=π（r22-r12）

解得：S==4.875πR2