Question

10．如圖所示，兩體積相同質(zhì)量分別是m和M的彈性小球A和B，且M≥m，兩小球重疊在一起，從高度為H處自由下落，B觸地后在極短時(shí)間內(nèi)反彈，且與地碰擦前后速度大小不變，接著A脫離B豎直上升，所有的碰撞都是完全彈性碰撞，且都發(fā)生在豎直方向，又H遠(yuǎn)大于兩小球半徑．不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，求：
（1）若M=m，則小球m反彈后能達(dá)到的高度；
（2）當(dāng)A脫離B豎直上升，若B恰好停留在地板上，則M是m的多少倍？此時(shí)球A上升的高度是多少？
（3）滿足M≥m的條件下，系統(tǒng)的最大彈性勢能是多少？

Answer 1

分析 下降過程為自由落體運(yùn)動(dòng)，觸地時(shí)兩球速度相同，但M碰撞地之后，速度瞬間反向，大小相等，而m也會(huì)與M碰撞，選m與M碰撞過程為研究過程，碰撞前后動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，列方程解得m的速度，之后m做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理或運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解反彈高度；根據(jù)能量守恒得出系統(tǒng)動(dòng)能最小時(shí)系統(tǒng)的最大的彈性勢能．

解答 解：（1）下降過程為自由落體運(yùn)動(dòng)，觸地時(shí)兩球速度相同，v=$\sqrt{2gH}$，M碰撞地之后，速度瞬間反向，大小相等，
選m與M碰撞過程為研究過程，碰撞前后動(dòng)量守恒，設(shè)碰后m、M速度大小分別為v₁、v₂，選向上方向?yàn)檎�方向，則：
Mv-mv=mv₁+Mv₂
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$（m+M）v²=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}$M${v}_{2}^{2}$
且m=M
聯(lián)立解得：v₁=v，v₂=-v，即小球m的速度方向向上，
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得反彈后高度為：h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=H，
（2）當(dāng)A脫離B豎直上升，若B恰好停留在地板上，
選m與M碰撞過程為研究過程，碰撞前后動(dòng)量守恒，設(shè)碰后m、M速度大小分別為v₁、v₂，選向上方向?yàn)檎�方向，則：
Mv-mv=mv′+0
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$（m+M）v²=$\frac{1}{2}$mv′²
解得：M=3m，v′=2v=2$\sqrt{2gH}$，
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得反彈后高度為：h′=4H，
（3）根據(jù)能量守恒得出系統(tǒng)動(dòng)能最小時(shí)，系統(tǒng)的彈性勢能最大，所以系統(tǒng)的最大彈性勢能為：
E_pm=$\frac{1}{2}$（m+M）v²=（m+M）gH．
答：（1）若M=m，則小球m反彈后能達(dá)到的高度是$\frac{{v}^{2}}{2g}$=H；
（2）當(dāng)A脫離B豎直上升，若B恰好停留在地板上，則M是m的3倍，此時(shí)球A上升的高度是4H；
（3）滿足M≥m的條件下，系統(tǒng)的最大彈性勢能是（m+M）gH．

點(diǎn)評(píng) 本題過程復(fù)雜，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)不同的情況進(jìn)行討論，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律即可正確解題．