Question

13．1990年4月25日，科學家將哈勃天文望遠鏡送上距地球表面約600km的高空，使得人類對宇宙中星體的觀測與研究有了極大進展．假設哈勃望遠鏡沿圓軌道繞地球運行．已知地球半徑為6.4×10⁶ m，利用地球同步衛(wèi)星與地球表面的距離為一定值這一事實可得到哈勃望遠鏡繞地球運行的周期．（g取10m/s²，77.53${\;}^{\frac{1}{3}}$=4.26，最后結果均保留2為有效數(shù)字．）
（1）試計算同步衛(wèi)星與地球表面的距離；
（2）哈勃望遠鏡的運行周期．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力和地球表面的物體所受的重力約等于地球對它的萬有引力列出等式求解；
哈勃天文望遠鏡繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)哈勃天文望遠鏡的萬有引力等于向心力和地球表面重力加速度公式，列出兩式聯(lián)立求解出周期表達式，再代入進行計算；也可以將哈勃天文望遠鏡與同步衛(wèi)星的周期直接比較求解；還可以運用開普勒第三定律求解．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
r=R+h，同步衛(wèi)星的周期T=24 h=24×3600s=8.64×10⁴s
處于地球表面的物體所受的重力約等于地球對它的萬有引力：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得r=4.26×10⁷ m．
所以地球同步衛(wèi)星與地球表面的距離h=r-R=3.6×10⁷ m．
（2）由開普勒第三定律可知，$\frac{{{（h}_{1}+R）}^{3}}{{T}_{1}^{2}}$=$\frac{{（h+R）}^{3}}{{T}^{2}}$，
R為地球的半徑，h₁、T₁、h、T分別表示哈勃望遠鏡到地表的距離、哈勃望遠鏡的周期、同步衛(wèi)星到地表的距離、同步衛(wèi)星的周期（24 h），
代入數(shù)據(jù)解得T₁=1.6 h
答：（1）同步衛(wèi)星與地球表面的距離是3.6×10⁷ m；
（2）哈勃望遠鏡的運行周期是1.6 h．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一理論，并能靈活運用，注意軌道半徑與高度的區(qū)別．