Question

20．如圖所示，水平放置的足夠長的平行金屬導軌MN、PQ的一端接有電阻R₀=0.1Ω，不計電阻的導體棒ab靜置在導軌的左端MP處，并與刎垂直．以導軌PQ的左端為坐標原點O，建立直角坐標系xOy，Ox軸沿PQ方向．每根導軌單位長度的電阻為r=0.1Ω/m．垂直于導軌平面的非勻強磁場磁感應強度在y軸方向不變，在x軸方向上的變化規(guī)律為：B=0.1+0.2x（T），并且x≥0．現在導體棒中點施加一垂直于棒的水平拉力F，使導體棒由靜止開始向右做勻加速直線運動，加速度大小為a=4m/s²．設導體棒的質量為m=0.5kg，兩導軌間距為L=0.5m．不計導體棒與導軌間的摩擦，導體棒與導軌接觸良好，不計其余部分的電阻．求：
（1）導體棒到達x=2m處時回路中的感應電動勢：
（2）如果導體棒從x=0運動到x=2m的過程中，回路中產生的焦耳熱Q為5J，該過程力F做的功W₁
（3）推導回路電流，與時間f的關系并求出導體棒從x=0運動到x=2m過程中通過電阻R₀的電荷量q．

Answer 1

分析 （1）由勻變速直線運動的速度位移公式求出導體棒的速度，然后由E=BLv求出感應電動勢．
（2）由能量守恒與轉化定律求解焦耳熱．
（3）由E=BLv求出感應電動勢，由歐姆定律求出電流，應用速度公式v=at分析答題，電量等于電流的平均值乘以時間，據此求出電荷量．

解答 解：（1）由勻變速直線運動的速度位移公式：v²=2ax可知，
x=2m時導體棒的速度：v=$\sqrt{2ax}$=$\sqrt{2×4×2}$=4m/s，
x=2m處：B=0.1+0.2x=0.1+0.2×2=0.5T，
感應電動勢：E=BLv=0.5×0.5×4=1V；
（2）導體棒從x=0運動到x=2m的過程中，
由能量守恒定律得：W₁=$\frac{1}{2}$mv²+Q=$\frac{1}{2}$×0.5×4²+5=9J；
（3）感應電動勢：E=BLv=BLat=（0.1+0.2x）×0.5×4×t=0.2t+0.4xt，
導軌接入電路的電阻阻值：R=2xr=2x×0.1=0.2xΩ，
電流：I=$\frac{E}{{R}_{0}+R}$=$\frac{0.2t+0.4xt}{0.1+2×0.1×x}$=2tA，
可知回路中的電流與時間成正比，所以在0-t時間內，通過R₀的電荷量為：
q=$\overline{I}$t=$\frac{I}{2}$t=t² C，
導體棒從x=0運動到x=2m過程所需時間：t=$\sqrt{\frac{2x}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×2}{4}}$=1s，
導體棒從x=0運動到x=2m過程中通過電阻R₀的電荷量：q=t²=1²=1C；
答：（1）導體棒到達x=2m處時回路中的感應電動勢為1V；
（2）如果導體棒從x=0運動到x=2m的過程中，回路中產生的焦耳熱Q為5J，該過程力F做的功W₁為9J；
（3）回路電流與時間t的關系為：I=2t A，導體棒從x=0運動到x=2m過程中通過電阻R₀的電荷量q為1C．

點評 本題是電磁感應與力學知識的綜合，一要掌握勻變速運動的基本規(guī)律，二要熟練運用電磁感應的規(guī)律，如法拉第電磁感應定律、歐姆定律和電量公式進行綜合解題．