Question

如圖所示，相距為L的兩根豎直的足夠長的光滑導(dǎo)軌MN、PQ，M、P之間接一阻值為R的定值電阻，金屬棒ab質(zhì)量為m，與導(dǎo)軌接觸良好．整個(gè)裝置處在方向垂直紙面向里水平勻強(qiáng)磁場中，金屬棒和導(dǎo)軌電阻不計(jì)．現(xiàn)讓ab棒由靜止釋放，經(jīng)時(shí)間t達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)ab棒速度為v；
（1）請(qǐng)證明導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)過程中，克服安培力的功率等于電路中的電功率．
（2）若m=0.2kg，L=0.5m，R=lΩ，v=2m/s，棒從開始釋放到穩(wěn)定狀態(tài)過程中流過棒電量為0.5C，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B大小以及棒從開始到達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)下落的高度h．（g取10m/s²）
（3）接第（2）問，若棒從開始到達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所用時(shí)間t=2s，求流過電阻R的電流有效值．（結(jié)果可保留根號(hào)）

Answer 1

分析：（1）根據(jù) E=BLv、I=

E

R

、F=BIL、P=Fv推導(dǎo)出克服安培力的功率．電路中的電功率P=

E2

R

．從而進(jìn)行證明．
（2）穩(wěn)定時(shí)，棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平衡條件和安培力公式列式求解B．根據(jù)感應(yīng)電量q=

△Φ

R

，△Φ=BLh，可求出h．
（3）根據(jù)能量守恒定律求出棒產(chǎn)生的熱量，由Q=I²Rt求解流過電阻R的電流有效值．

解答：解：（1）ab邊切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢為 E=BLv
通過線框的電流為 I=

E

R

ab所受的安培力 F=BIL
克服安培力的功率 P_安=Fv
聯(lián)立得：P_安=

B2L2v2

R

；
電路中的電功率 P_電=

E2

R

=

(BLv)2

R

=

B2L2v2

R

故得：P_安=P_電，所以導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)過程中，克服安培力的功率等于電路中的電功率．得證．
（2）ab棒穩(wěn)定時(shí)，勻速運(yùn)動(dòng)，受力平衡，則得：
  mg=BIL
又 I=

BLv

R

則得：B=

mgR L2v

=

0.2×10×1 0．52×2

T=2T
流過棒電量：q=

.

I

△t，
又

.

I

=

. E

R

，

.

E

=

△Φ

△t

，△Φ=BLh
聯(lián)立得：q=

BLh

R

得：h=

qR

BL

=

0.5×1

2×0.5

=0.5m．
（3）設(shè)ab中產(chǎn)生的熱量Q．
根據(jù)能量守恒定律得：Q+

1

2

mv2=mgh
得：Q=mgh-

1

2

mv2=（0.2×10×0.5-

1

2

×0.2×22）J=0.6J
由Q=I²R?t得：I=

Q Rt

=

0.6 1×2

A=

30

10

A
答：（1）證明略．（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B大小是2T，棒從開始到達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)下落的高度h是0.5m．（3）流過電阻R的電流有效值為

30

10

A．

點(diǎn)評(píng)：解決該題關(guān)鍵要熟練推導(dǎo)安培力與速度的關(guān)系式，掌握感應(yīng)電量公式q=

△Φ

R

，并運(yùn)用此公式求h．把握各個(gè)量之間的關(guān)系，選擇相關(guān)的物理規(guī)律求解．