Question

在用高級(jí)瀝青鋪設(shè)的高速公路上，汽車(chē)的設(shè)計(jì)時(shí)速是108km/h．汽車(chē)在這種路面上行駛時(shí)，它的輪胎與地面的最大靜摩擦力等于車(chē)重的0.5倍．
（1）如果汽車(chē)在這種高速路的水平彎道上拐彎，假設(shè)彎道的路面是水平的，其彎道的最小半徑是多少？
（2）如果高速路上設(shè)計(jì)了圓弧拱橋做立交橋，要使汽車(chē)能夠以設(shè)計(jì)時(shí)速安全通過(guò)圓弧拱橋，這個(gè)圓弧拱橋的半徑至少是多少？（取g=10m/s²）

Answer 1

分析：（1）汽車(chē)在水平路面上拐彎，可視為汽車(chē)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力是車(chē)與路面間的靜摩擦力提供，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí)，由向心力公式可知這時(shí)的半徑最小，寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，即可求得結(jié)果．
（2）汽車(chē)過(guò)拱橋，看作在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，重力與支持力的合力提供向心力；為了保證安全，車(chē)對(duì)路面間的彈力F_N必須大于等于零．

解答：解：（1）汽車(chē)在水平路面上拐彎，可視為汽車(chē)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力是車(chē)與路面間的靜摩擦力提供，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí)，由向心力公式可知這時(shí)的半徑最小，有：F_m=0.5mg≥m

v2

r

由速度v=30m/s，解得彎道半徑為：r≥180m；
（2）汽車(chē)過(guò)拱橋，看作在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，根據(jù)向心力公式有：mg-F_N=m

v2

R

為了保證安全，車(chē)對(duì)路面間的彈力F_N必須大于等于零．有 mg≥m

v2

R

代入數(shù)據(jù)解得：R≥90m．
答：（1）彎道的最小半徑是180m；
（2）這個(gè)圓弧拱橋的半徑至少是90m．

點(diǎn)評(píng)：該題考查汽車(chē)在水平面內(nèi)的轉(zhuǎn)彎問(wèn)題與在豎直平面內(nèi)過(guò)拱形橋的問(wèn)題，屬于向心力的基本應(yīng)用，中檔題目．