Question

9．如圖所示，一平整木板上表面與水平面XOZ面重合，木板上豎直固定著兩塊正對(duì)的金屬板AB和一光滑的豎直半圓形絕緣擋板MN，B板上開(kāi)有小孔P，且AB板上帶有等量的異種電荷，兩板間的電壓U=$\frac{650}{3}$V，間距d=0.5m，豎直擋板的N端與X軸相切，擋板的半徑r=$\frac{6}{π}$m，現(xiàn)有一帶負(fù)電的小球a，質(zhì)量為m=0.1kg，電量為q=6×10^-3C，在靠近A板處由靜止釋放，小球沿木板運(yùn)動(dòng)穿過(guò)小孔P后，恰能從M點(diǎn)無(wú)碰撞地沿?fù)醢錗N運(yùn)動(dòng)，PM=3.5m，小球與木板間的摩擦因數(shù)μ=0.1（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8），則：
（1）B板帶什么電和小球通過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度為多大？
（2）小球在N點(diǎn)時(shí)受到擋板的彈力為多大？（結(jié)果可以含π）
（3）小球運(yùn)動(dòng)到X軸上的Q點(diǎn)時(shí)速度為2m/s，立即加一豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)和一垂直于XOY平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E=$\frac{1}{6}$×10³N/C，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=$\frac{100}{9}$T，某時(shí)刻從Y軸上沿X軸正向平拋一不帶電的小球b，當(dāng)b的偏轉(zhuǎn)角θ=37°時(shí)與a球發(fā)生正碰（碰時(shí)速度在一條直線上）．求小球b拋出時(shí)的初速度和坐標(biāo)位置．

Answer 1

分析 （1）由電場(chǎng)力的特點(diǎn)判斷出B極板的電性；由動(dòng)能定理即可計(jì)算出小球到達(dá)P點(diǎn)的速度；
（2）小球由A到N的過(guò)程中電場(chǎng)力與摩擦力做功，由動(dòng)能定理即可求出小球到達(dá)N點(diǎn)的速度，然后結(jié)合牛頓第二定律即可求出小球在N點(diǎn)受到的彈力；
（3）小球A在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，小球B做平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解，即可求出．

解答 解：（1）在電場(chǎng)中，帶負(fù)電的小球從A向B運(yùn)動(dòng)，受到的電場(chǎng)力的方向從A指向B，所以電場(chǎng)的方向從B指向A，所以B板帶正電．
小球從A向B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，電場(chǎng)力與摩擦力做功，得：
$qU-μmgd=\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}-0$
代入數(shù)據(jù)得：v_P=5m/s
（2）小球a從P到N的過(guò)程中，只有摩擦力做功，由動(dòng)能定理得：
$-μmg（\overline{PM}+πr）=\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：${v}_{N}=\sqrt{6}$m/s
小球a在N點(diǎn)時(shí)受到的彈力提供向心力則：${F}_{N}=\frac{m{v}_{N}^{2}}{r}=\frac{0.1×6}{\frac{6}{π}}=0.1π$（N）
（3）設(shè)Q到N點(diǎn)的距離是s則：$-μmgs=\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：s=1（m）
小球a在Q點(diǎn)受到的電場(chǎng)力：${F}_{1}=qE=6×1{0}^{-3}×\frac{1}{6}×1{0}^{3}=1$N，方向向上；
小球a受到的重力：G=mg=0.1×10=1N，方向向下；
所以小球a從Q點(diǎn)開(kāi)始，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，得：
$qvB=\frac{m{v}_{Q}^{2}}{R}$
得：$R=\frac{m{v}_{Q}}{qB}=\frac{0.1×2}{6×1{0}^{-3}×\frac{100}{9}}=3$m
小球a 做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期：$T=\frac{2πR}{{v}_{Q}}=\frac{2π×3}{2}=3π$（s）
當(dāng)b的偏轉(zhuǎn)角θ=37°時(shí)在I點(diǎn)與a球發(fā)生正碰，

此時(shí)a球的偏轉(zhuǎn)角也是37°，所以碰撞點(diǎn)I的高度：
h₁=R（1-cos37°）=3×（1-0.8）=0.6m
設(shè)小球B的初速度為v₀，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則小球b在I點(diǎn)的豎直方向的分速度：
v_y=gt
小球b的偏轉(zhuǎn)角是37°，則：$tan37°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
小球b在水平方向的位移：x=$\overline{OQ}=\overline{ON}-\overline{NQ}=\overline{AM}-\overline{NQ}=3$m
而：x=v₀t；$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$'聯(lián)立以上方程得：
${v}_{0}=2\sqrt{10}$m/s，${h}_{2}=\frac{9}{8}$m
所以，小球b拋出點(diǎn)的高度：H=h₁+h₂=0.6+$\frac{9}{8}$=1.725m
答：（1）B板帶正電，小球通過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度為5m/s；
（2）小球在N點(diǎn)時(shí)受到的彈力為0.1π N；
（3）小球b拋出時(shí)的初速度是$2\sqrt{10}$m/s，坐標(biāo)位置是（0，1.725m）．

點(diǎn)評(píng) 該題屬于多物體、多過(guò)程的情況，小球A經(jīng)歷了三個(gè)不同的過(guò)程，而小球B經(jīng)歷了平拋運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，要理清運(yùn)動(dòng)的過(guò)程之間的關(guān)系，然后才能正確解答．