Question

如圖所示，一根粗細(xì)均勻的足夠長直桿豎直固定放置，其上套有A、B兩個(gè)金屬環(huán)，質(zhì)量分別為m_A、m_B，m_A：m_B=4：1，桿上P點(diǎn)上方是光滑的且長度為L，P點(diǎn)下方是粗糙的，桿對兩環(huán)的滑動(dòng)摩擦力大小均等于環(huán)各自的重力．現(xiàn)將環(huán)A靜止在P處，再將環(huán)B從桿的頂端由靜止釋放，B下落與A發(fā)生碰撞，碰撞時(shí)間極短，碰后B的速度方向向上，速度大小為碰前的

3

5

．求：
（1）試通過分析說明B與A第一次碰撞時(shí)，A、B系統(tǒng)能量損失△E為多少；
（2）B與A發(fā)生第二次碰撞時(shí)的位置到P點(diǎn)的距離；
（3）B與A第一次碰撞后到第二次碰撞前，B與A間的最大距離．

Answer 1

分析：1、由機(jī)械能守恒定律求出B自由下落L時(shí)速度，A，B組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒列出等式求出A的速度大小，根據(jù)根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒列出等式求解
2、進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．
3、兩環(huán)相距最遠(yuǎn)時(shí)，速度相同，對物體進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．

解答：解：（1）設(shè)B自由下落L時(shí)速度為v₀，由機(jī)械能守恒定律得：
m_BgL=

1

2

m_B

v

2 0

解得：v₀=

2gL

…①
設(shè)B與A碰撞后瞬間，B的速度大小為V_B，A的速度大小為V_A，A，B組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，規(guī)定向下的方向?yàn)檎��?br />m_Bv₀=-m_Bv_B+m_Av_A…②
將v_B=

3

5

v₀ 代入上式解得：
v_A=

2

5

v₀…③
根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒得B與A第一次碰撞時(shí)，A、B系統(tǒng)能量損失為：
△E=

1

2

m_B

v

2 0

-

1

2

m_B

v

2 B

-

1

2

m_A

v

2 A

=0
（2）碰撞后A勻速下滑，B做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，從返回到P點(diǎn)時(shí)，速度大小仍為v_B，此后，B也做勻速運(yùn)動(dòng)，
由于v_B＞v_A所以B也會(huì)發(fā)生第二次碰撞．
設(shè)A、B碰撞后經(jīng)時(shí)間t發(fā)生第二次碰撞，B做豎直上拋運(yùn)動(dòng)返回到P點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為t，則A的位移為：
s_A=v_At…④
B勻速運(yùn)動(dòng)的位移為：s_B=v_B（t-t₁）…⑤
解得：t₁=

2 vB

g

…⑥
由s_A=s_B并聯(lián)立①③④⑤⑥解得：t=

18v0

5g

…⑦
解得：S_A=

3 6v 2 0

25g

=

72L

25

…⑧
所以，A、B第二次碰撞的位置在P點(diǎn)下方

72L

25

．
（3）兩環(huán)相距最遠(yuǎn)時(shí)，速度相同，v_B=v_A，此時(shí)B環(huán)在P點(diǎn)上方，設(shè)經(jīng)歷的時(shí)間為t′
由v_A=v_B+gt′解得：t′=

v0

g

…⑨
A的位移為：：S′_A=v_At′=

2v 2 0

5g

B的位移為：：S′_B=-

v 2 0

10g

解得：△S=S′_A-S′_B=

v 2 0

2g

=L
答：（1）B與A第一次碰撞時(shí)，A、B系統(tǒng)能量損失△E為0；
（2）A、B第二次碰撞的位置在P點(diǎn)下方

72L

25

；
（3）B與A第一次碰撞后到第二次碰撞前，B與A間的最大距離是L．

點(diǎn)評：解決該題關(guān)鍵要進(jìn)行A、B的運(yùn)動(dòng)分析，正確找出其位置關(guān)系，運(yùn)用系統(tǒng)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．