Question

11．在相互垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一傾角為θ=45°，足夠長(zhǎng)的光滑絕緣斜面，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外，電場(chǎng)方向豎直向上．有一質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球靜止在斜面頂端，這時(shí)小球?qū)π泵娴恼龎毫η『脼榱�，如圖所示，
（1）若迅速把電場(chǎng)方向反轉(zhuǎn)豎直向下，小球能在斜面上連續(xù)滑行多遠(yuǎn)？所用時(shí)間是多少？
（2）小球離開(kāi)斜面瞬間，若突然將電場(chǎng)改為豎直向上，則小球?qū)⒆鍪裁催\(yùn)動(dòng)？它的運(yùn)動(dòng)半徑是多大？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)電場(chǎng)豎直向上時(shí)，小球?qū)π泵鏌o(wú)壓力，可知電場(chǎng)力和重力大小相等；當(dāng)電場(chǎng)豎直向下時(shí)，小球受到向下的力為2mg；當(dāng)小球恰好離開(kāi)斜面時(shí)，在垂直于斜面的方向上合力為零，由此可求出此時(shí)的速度；在此過(guò)程中，電勢(shì)能和重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，由動(dòng)能定理即可求出小球下滑的距離．經(jīng)受力分析可知，小球在沿斜面方向上合力不變，故沿斜面做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（2）突然將電場(chǎng)改為豎直向上，則電場(chǎng)力與重力大小相等，方向相反，粒子受到的洛倫茲力提供向心力，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律即可求出半徑．

解答 解：（1）由靜止可知：qE=mg
當(dāng)小球恰好離開(kāi)斜面時(shí)，對(duì)小球受力分析，受豎直向下的重力、電場(chǎng)力和垂直于斜面向上的洛倫茲力，此時(shí)在垂直于斜面方向上合外力為零．
則有：（qE+mg）cosθ=qvB
由動(dòng)能定理得：（qE+mg）sinθ•x=$\frac{1}{2}$mv²
解得：x=$\frac{{m}^{2}gco{s}^{2}θ}{{q}^{2}{B}^{2}sinθ}$
對(duì)小球受力分析，在沿斜面方向上合力為（qE+mg）sinθ，且恒定，故沿斜面方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．由牛頓第二定律得：
（qE+mg）sinθ=ma
得：a=2gsinθ
由x=$\frac{1}{2}$at²
得：t=$\frac{mcosθ}{qBsinθ}$
（2）小球離開(kāi)斜面瞬間，若突然將電場(chǎng)改為豎直向上，則小球受到的電場(chǎng)力向上，由于qE=mg，所以小球受到的合力是洛倫茲力，由洛倫茲力提供向心力，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
由牛頓第二定律：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
所以：r=$\frac{2{m}^{2}gcosθ}{{q}^{2}{B}^{2}}$
答：（1）小球能在斜面上滑行距離為$\frac{{m}^{2}gco{s}^{2}θ}{{q}^{2}{B}^{2}sinθ}$；小球在斜面上滑行時(shí)間是$\frac{mcosθ}{qBsinθ}$；
（2）小球?qū)⒆鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)半徑是$\frac{2{m}^{2}gcosθ}{{q}^{2}{B}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考察了帶電物體在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，解決此類問(wèn)題要求我們要對(duì)帶電物體進(jìn)行正確的受力分析，要注意找出當(dāng)小球離開(kāi)斜面時(shí)的受力情況是解決該題的關(guān)鍵．
在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，只牽扯到位移和速度問(wèn)題的往往用能量解決；如果牽扯到時(shí)間，往往應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律或動(dòng)量定理來(lái)解決．