Question

12．如圖所示，在傾角為30°（斜面光滑且足夠長）的固定斜面上端用長l₀=20cm、勁度系數(shù)為k=100N/m的彈簧連接質(zhì)量均為1kg的物體，A放在B上，將物塊從彈簧長度為25cm處由靜止開始釋放，A、B兩物塊在以后的運動中一直沒有發(fā)生相對滑動．
（1）求物塊處于平衡位置時彈簧的長度；
（2）從動力學(xué)角度證明物塊做簡諧運動；
（3）當(dāng)沿斜面向上運動到彈簧長度為28cm時物體A所受摩擦力的大小和方向
（4）整個運動過程中物體A所受摩擦力的最大值為多少．

Answer 1

分析 （1）物塊處于平衡位置時合力為零，由平衡條件和胡克定律結(jié)合求解．
（2）當(dāng)物體所受的合力為零時，物體處于平衡位置，結(jié)合共點力平衡求出平衡位置時的彈簧伸長量，從而得出彈簧的長度．抓住x表示物塊相對于平衡位置的位移，根據(jù)牛頓第二定律推導(dǎo)回復(fù)力是否滿足F=-kx．
（3）先以AB整體為研究對象，求出加速度，再對A，由牛頓第二定律求解．
（4）當(dāng)AB的位移最大時，加速度最大，A所受的摩擦力最大．由牛頓第二定律求解．

解答 解：（1）物塊處于平衡位置時合力為零，則有
  2mgsin30°=k（l-l₀）
代入得：2×1×10×0.5=100×（l-0.2）
解得 l=0.3m
（2）設(shè)AB整體在斜面上平衡時，彈簧伸長量為△l，有：
  2mgsin30°-k△l=0
解得：△l=$\frac{2mgsin30°}{k}$．
當(dāng)物塊的位移為x時，彈簧伸長量為x+△l，整體所受合力為：
 F_合=2mgsinα-k（x+△l）
聯(lián)立以上各式可得：F_合=-kx，可知物塊作簡諧運動．
（3）當(dāng)沿斜面向上運動到彈簧長度為28cm時，由牛頓第二定律得：
對整體：2mgsin30°-k（l₁-l₀）=2ma
取沿斜面向下為正方向，對A有：mgsin30°+f=ma
聯(lián)立解得 f=-4N，負號表示A所受摩擦力方向沿接觸面向上．
（4）當(dāng)A運動到最低點時，由牛頓第二定律得：
對整體：kA=2ma_m；
對A：f-mgsin30°=ma_m；
其中振幅 A=l-0.25m=0.05m
聯(lián)立解得物體A所受摩擦力的最大值 f=7.5N
答：
（1）物塊處于平衡位置時彈簧的長度為0.3m．
（2）證明見上．
（3）物體A所受摩擦力的大小為4N，方向沿接觸面向上．     
（4）物體A所受摩擦力的最大值為7.5N．

點評 本題考查牛頓第二定律和胡克定律的綜合運用，關(guān)鍵是理清過程，確定出平衡位置，得出振幅的大小是解決本題的關(guān)鍵．