Question

如圖所示，豎直放置的圓弧軌道和水平軌道兩部分相連． 水平軌道的右側(cè)有一質(zhì)量為 2m 的滑塊C 與輕質(zhì)彈簧的一端相連，彈簧的另一端固定在豎直的墻M上，彈簧處于原長時(shí)，滑塊C靜止在P 點(diǎn)處；在水平軌道上方O 處，用長為L 的細(xì)線懸掛一質(zhì)量為 m 的小球B，B 球恰好與水平軌道相切，并可繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)．質(zhì)量為 m 的滑塊A 由圓弧軌道上靜止釋放，進(jìn)入水平軌道與小球B發(fā)生彈性碰撞． P 點(diǎn)左方的軌道光滑、右方粗糙，滑塊A、C 與PM 段的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，A、B、C 均可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g．
（1）求滑塊A 從2L高度處由靜止開始下滑，與B碰后瞬間B的速度．
（2）若滑塊A 能以與球B 碰前瞬間相同的速度與滑塊C 相碰，A 至少要從距水平軌道多高的地方開始釋放？（3）在（3）中算出的最小值高度處由靜止釋放A，經(jīng)一段時(shí)間A 與C 相碰，設(shè)碰撞時(shí)間極短，碰后一起壓縮彈簧，彈簧最大壓縮量為

1

3

L，求彈簧的最大彈性勢能．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出A與B碰撞前的速度，結(jié)合動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求出與B碰后瞬間B的速度．
（2）要使滑塊A 能以與B 碰前瞬間相同的速度與C 碰撞，必須使小球B 受A 撞擊后在豎直平面內(nèi)完成一個(gè)完整的圓周運(yùn)動(dòng)后從左方撞擊A，使A 繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)．抓住小球通過最高點(diǎn)的臨界速度，結(jié)合機(jī)械能守恒定律求出A下滑的高度．
（3）根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求出彈簧的最大彈性勢能．

解答：解：（1）對A，由機(jī)械能守恒得：mg×2L=

1

2

mv02
v₀=2

gL

A與B碰mv₀=mv_A+mv_B

1

2

mv02=

1

2

mvA2+

1

2

mvB2
速度交換，v_B=v₀=2

gL

．
（2）要使滑塊A 能以與B 碰前瞬間相同的速度與C 碰撞，必須使小球B 受A 撞擊后在豎直平面內(nèi)完成一個(gè)完整的圓周運(yùn)動(dòng)后從左方撞擊A，使A 繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)．
設(shè)A 從距水平面高為 H 的地方釋放，與B 碰前的速度為v₀
對A，由機(jī)械能守恒得：mgH=

1

2

mv02．
設(shè)小球B 通過最高點(diǎn)的速度為v_B，則它通過最高點(diǎn)的條件是：
mg≤m

vB2

L

小球B 從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程機(jī)械能守恒：

1

2

mv02=2mgL+

1

2

mvB2
解得：H≥

5

2

L．
（3）從這個(gè)高度下滑的A 與C碰撞前瞬間速度：v0=

5gL

．
設(shè)A 與C 碰后瞬間的共同速度為v，由動(dòng)量守恒：
mv₀=（m+2m）v
A、C 一起壓縮彈簧，由能量守恒定律．有：

1

2

(m+2m)v2=EP+(μmg+μ?2mg)?

1

3

L
解得：EP=

1

3

mgL．
答：（1）與B碰后瞬間B的速度為2

gL

．
（2）滑塊A 能以與球B 碰前瞬間相同的速度與滑塊C 相碰，A 至少要從距水平軌道

5

2

L的地方開始釋放．
（3）彈簧的最大彈性勢能為

1

3

mgL．

點(diǎn)評：本題綜合考查了動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律和牛頓第二定律，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是理清物體的運(yùn)動(dòng)情況，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．