如圖所示,空間存在兩個(gè)勻強(qiáng)磁場,其分界線是半徑為R的圓,兩側(cè)的磁場方向相反且垂直于紙面,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B.現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電離子(不計(jì)重力)從A點(diǎn)沿OA方向射出.
求:
(1)離子在磁場中做勻速圓圈運(yùn)動(dòng)的周期;
(2)若向外的磁場范圍足夠大,離子自A點(diǎn)射出后在兩個(gè)磁場不斷地飛進(jìn)飛出,最后又能返回A點(diǎn),求其返回A點(diǎn)的最短時(shí)間及對(duì)應(yīng)離子的速度.
(3)若向外的磁場是有界的,分布在以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為R和2R的兩半圓之間的區(qū)域,上述離子仍從A點(diǎn)沿OA方向射出,且微粒仍能返回A點(diǎn),求其返回A點(diǎn)的最短時(shí)間.(可能用到的三角函數(shù)值:sin37°=0.6,cos37°=0.8)

【答案】分析:(1)離子在磁場中由洛倫茲力提供向心力,根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)求解離子在磁場中做勻速圓圈運(yùn)動(dòng)的周期;
(2)作出軌跡如圖,離子從A點(diǎn)射出后,分別經(jīng)過一次進(jìn)出向里的磁場返回A所用時(shí)間最短,得到時(shí)間與周期的關(guān)系式.由幾何知識(shí)求出軌跡的半徑,由半徑公式求解速度.
(3)離子的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好不超出向外的磁場邊界時(shí),離子的軌跡恰好與外邊界相切.畫出軌跡可知,離子分別進(jìn)出里磁場兩次時(shí)時(shí)間最短,由幾何知識(shí)求出離子軌跡半徑和運(yùn)動(dòng)時(shí)間.
解答:解:(1)離子在磁場中由洛倫茲力提供向心力,根據(jù)牛頓第二定律可得
  qvB=m
又周期為 T=   
解得,T=
(2)作出軌跡如圖,離子從A點(diǎn)射出后,分別經(jīng)過一次進(jìn)出向里的磁場返回A所用時(shí)間最短,最短時(shí)間 
代入得:
由圖可知:
由向心力公式得:
由以上兩式可得:
(3)如圖由幾何知識(shí)可知離子運(yùn)動(dòng)軌跡不超出邊界須有:≤2R    
得  r≤
如圖有:,即:,解得:n≥4.86
由于n要取整數(shù),所以n=5時(shí),離子返回A的時(shí)間最短      
由離子軌跡得:
代入上式得:
答:
(1)離子在磁場中做勻速圓圈運(yùn)動(dòng)的周期是;
(2)返回A點(diǎn)的最短時(shí)間是,對(duì)應(yīng)離子的速度是
(3)返回A點(diǎn)的最短時(shí)間為
點(diǎn)評(píng):本題畫軌跡,根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的周期性分析什么條件時(shí)間最短是難點(diǎn),要充分運(yùn)用幾何知識(shí)進(jìn)行分析.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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