Question

如圖所示為蕩秋千的示意圖,最初人直立站在踏板上,兩繩與豎直方向的夾角均為θ,人的重心到懸點(diǎn)O的距離為l₁;從A點(diǎn)向最低點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,人由直立狀態(tài)變?yōu)樽匀幌露?在B點(diǎn)人的重心到懸點(diǎn)O的距離為l₂;在最低點(diǎn)處,人突然由下蹲狀態(tài)變成直立狀態(tài)(人的重心到懸點(diǎn)O的距離恢復(fù)為l₁),且保持該狀態(tài)到最高點(diǎn)C.設(shè)人的質(zhì)量為m,不計(jì)踏板和繩的質(zhì)量,不計(jì)一切摩擦和空氣阻力.求:

(1)人第一次到達(dá)最低點(diǎn)B還處于下蹲狀態(tài)時(shí),從身上掉下一件物品,問(wèn)物品落地點(diǎn)到最低點(diǎn)的距離為多少?假設(shè)人在最低點(diǎn)時(shí)離地面高度為h.
(2)人第一次到達(dá)最高點(diǎn)C時(shí),繩與豎直方向的夾角α為多大?(可用反三角函數(shù)表示;解答本問(wèn)時(shí)不考慮超重和失重)

Answer 1

(1)
(2)arccos(cosθ-)

(1)人從A點(diǎn)到B點(diǎn)(還處于下蹲狀態(tài))的過(guò)程中,設(shè)B點(diǎn)此時(shí)的速度為v
根據(jù)機(jī)械能守恒得
mg(l₂-l₁cosθ)= mv²
物品落地的時(shí)間為t,有
物品落地點(diǎn)的水平位移x=vt
解得
則該點(diǎn)離最低點(diǎn)B的距離
(2)人從B點(diǎn)保持直立狀態(tài)到達(dá)C點(diǎn)的過(guò)程中,根據(jù)機(jī)械能守恒定律=mgl₁(1-cosα)
解得α=arccos(cosθ-).