Question

19．如圖所示，在傾角為θ=37°的斜面底端固定有一輕質(zhì)彈簧，自由放置時其上端位于M點，M點距斜面最高點P的距離L=2m．把質(zhì)量為m=1kg的小球放于M點，通過外力控制小球?qū)�彈簧壓縮至N點后自由釋放（小球與彈簧不相連，其中MN 的距離d=0.5m），小球通過M點后上升過程中位移隨時間變化的關(guān)系為x=6t-4t²，之后小球從P點沿切線進入豎直放置的光滑圓弧形圓管軌道運動，圓弧軌道半徑R=0.4m，圓管內(nèi)徑可忽略不計（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）． 求：
（1）小球與斜面之間的動摩擦系數(shù)μ；
（2）彈簧壓縮至N點時具有的彈性勢能E_P；
（3）小球運動到圓弧最高點Q時，小球?qū)�軌道彈力的大小和方向�?

Answer 1

分析 （1）小球通過M點后上升過程中位移隨時間變化的關(guān)系為x=6t-4t²，結(jié)合位移公式得到初速度和加速度，然后受力分析后根據(jù)牛頓第二定律列式求解動摩擦因素；
（2）對從N到M過程，小球和彈簧系統(tǒng)機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律列式求解彈簧壓縮至N點時具有的彈性勢能E_P；
（3）小球運動到圓弧最高點Q時，彈力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式；再對從P到Q過程根據(jù)機械能守恒定律列式；最后聯(lián)立求解．

解答 解：（1）由題意知，小球在M點的速度為：v₀=6m/s；
小球離開彈簧后在斜面上運動的加速度為：a=8m/s²；
對小球離開彈簧后，由牛頓第二定律，有：
ma=mgsinθ+μmgcosθ
解得：μ=0.25
（2）小球從N運動到M過程中，由功能關(guān)系，有：
${E}_{p}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgdsinθ+μmgdcosθ$ 
代入數(shù)據(jù)解得：E_p=22J
（3）小球從M點運動到P點時：L=2=6t-4t²，
解得：t=0.5s，t=1s（舍去），此時速度為：v_p=2m/s
從P到Q機械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}+mgR（1-cos37°）$
解得：${v}_{Q}=\sqrt{2.4}m/s$
在Q點，向心力方程：${F}_{N}+mg=m\frac{{v}_{Q}^{2}}{R}$
解得：F_N=-4N
小球受到向上的彈力，根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)��?nèi)軌作用力大小為4N，方向豎直向下；
答：（1）小球與斜面之間的動摩擦系數(shù)μ為0.25；
（2）彈簧壓縮至N點時具有的彈性勢能為22J；
（3）小球運動到圓弧最高點Q時，小球?qū)�軌道彈力的大小�?N，方向為豎直向下．

點評 本題關(guān)鍵是明確小球的受力情況、運動情況和能量轉(zhuǎn)化情況，結(jié)合牛頓第二定律、機械能守恒定律和向心力公式列式求解，不難．