Question

（2011?黃山模擬）如圖所示，豎直固定放置的粗糙斜面AB的下端與光滑的圓弧BCD的B點(diǎn)相切，圓弧軌道的半徑為R，圓心O與A、D在同一水平面上，∠COB=θ，現(xiàn)有質(zhì)量為m的小物體從距D點(diǎn)為

Rcosθ

4

的地方無初速的釋放，已知物體恰能從D點(diǎn)進(jìn)入圓軌道．求：
（1）為使小物體不會(huì)從A點(diǎn)沖出斜面，小物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)至少為多少？
（2）若小物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=

sinθ

2cosθ

，則小物體在斜面上通過的總路程大小？
（3）小物體通過圓弧軌道最低點(diǎn)C時(shí)，對C的最大壓力和最小壓力各是多少？

Answer 1

分析：（1）要物體不從A點(diǎn)沖出斜面則物體到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度為0，根據(jù)動(dòng)能定理可以求出物體從B到C的過程中摩擦力所做的功，故需要根據(jù)幾何關(guān)系求出AB的高度差為Rcosθ，斜面AB的傾角為θ，可知AB之間的距離為

Rcosθ

sinθ

．
（2）由于物體不能從A點(diǎn)沖出，故會(huì)向B滑動(dòng)，然后從CD滑會(huì)B點(diǎn)，最后只能滑到B點(diǎn)而不能繼續(xù)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，即只能做以B為最高點(diǎn)的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，即確定了物體運(yùn)動(dòng)過程中速度為0的末位置，根據(jù)摩擦力做功的特點(diǎn)（摩擦力做功與路程有關(guān)）利用動(dòng)能定理即可求出物體通過的路程．
（3）小物體第一次通過C點(diǎn)時(shí)的速度最大，對C的壓力最大；當(dāng)小物體到B點(diǎn)速度為0時(shí)，經(jīng)過C點(diǎn)的速度最小，對軌道的壓力最�。�

解答：解：（1）為使小物體不會(huì)從A點(diǎn)沖出斜面，由動(dòng)能定理得mg

Rcosθ

4

-μmgcosθ

Rcosθ

sinθ

=0
解得動(dòng)摩擦因數(shù)至少為：μ=

sinθ

4cosθ

（2）分析運(yùn)動(dòng)過程可得，最終小物體將從B點(diǎn)開始做往復(fù)的運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理得
mg（

Rcosθ

4

+Rcosθ）-μmgScosθ=0
解得小物體在斜面上通過的總路程為：S=

5Rcosθ

2sinθ

（3）由于小物體第一次通過最低點(diǎn)時(shí)速度最大，此時(shí)壓力最大，由動(dòng)能定理，得
mg（

Rcosθ

4

+R）=

1

2

mv²
由牛頓第二定律，得
N_max-mg=m

v2

R

解得N_max=3mg+

1

2

mgcosθ
最終小物體將從B點(diǎn)開始做往復(fù)的運(yùn)動(dòng)，則有
mgR（1-cosθ）=

1

2

mv^′2
N_min-mg=m

v′2

R

聯(lián)立以上兩式解得N_min=mg（3-2cosθ）
由牛頓第三定律，得小物體通過圓弧軌道最低點(diǎn)C時(shí)對C的最大壓力
Nmax′=3mg+

1

2

mgcosθ，
最小壓力Nmin′=mg（3-2cosθ）．

點(diǎn)評(píng)：把握重力、電場力、摩擦力做功的特點(diǎn)，找準(zhǔn)物體的初末速度，靈活利用動(dòng)能定理解題是此類題目的通用解法．