Question

18．如圖所示，傾角為θ的斜面光滑，自斜面上某處以速度v與斜面夾角為Φ的方向向斜面上拋出一質點（設質點與斜面間的碰撞是完全彈性的，即球入射方向與反射遵循光的反射定律），斜面足夠長，要求質點最后仍能回到原出發(fā)點．問：Φ角應滿足什么條件？

Answer 1

分析 整個過程中，質點只有重力做功，故機械能守恒，顯然，若質點能回到原出發(fā)點，則它沿斜面向上的運動和向下的運動一定是相對稱的，即質點沿斜面方向運動到其能達到的最高點后，沿原路返回．滿足以上條件的有兩種情況：一是質點最后一次與斜面相碰時，其速度方向剛好與斜面垂直，則其反射起來的速度與其碰前的速度大小相等方向相反；二是質點最后一次與斜面相碰后，反彈的速度沿豎直方向，然后再落后，“反演”此前的運動，也可以回到原出發(fā)點．根據(jù)以上兩種情況進行分析．

解答 解：（1）建立如圖所示的坐標系，設質點沿垂直斜面的方向以某一速度拋出，在質點再次與斜面相碰前，質點在空中運動的加速度分量分別為：
a_x=gsinθ
a_y=-gcosθ
在某一時刻t時，質點的速度兩分量為：
v_y=v₀-gcosθt
v_x=gsinθt
質點的位置坐標為：
x=$\frac{1}{2}$gsinθt²
y=v₀t-$\frac{1}{2}$gcosθt²
由上式令y=0得質點由出發(fā)至第一次與斜面相碰所經(jīng)歷的時間為：
T=$\frac{2{v}_{0}}{gcosθ}$
此時質點的速度分量為：
v_y=-v₀；
v_x=gsinθT
質點由斜面反彈起來時，其垂直于斜面方向的速度大小為v₀，可見此后質點每兩次與斜面相碰的時間間隔為T，則質點第n次與斜面相碰時的速度分量分別為
v_y=-v₀
v_x=gsinθ•nT
令此時速度方向與斜面間的夾角為Φ，則有
tanΦ=|$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$|=$\frac{{v}_{0}}{ngsinθ-\frac{2{v}_{0}}{gcosθ}}$=$\frac{ctgθ}{2n}$（n=1，2---）
（2）設質點由空中自由下落到斜面上，與斜面相碰時速度為v0，仍在圖中所示的坐標系中，由上分析可得：質點連續(xù)兩次與斜面相碰的時間間隔為：
T=$\frac{2{v}_{0}cosθ}{gcosθ}$=$\frac{2{v}_{0}}{g}$；
此后，質點第n次與斜面相碰時其速度分量為：
v_x=v₀sinθ+gsinθ（n-1）T
v_y=-v₀cosθθ
由以上三式解得，質點第n次與斜面相碰時，速度方向與斜面間的夾角Φ滿足：
tanΦ=|$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$|=$\frac{{v}_{0}ctgθ}{{v}_{0}+2{v}_{0}（n-1）}$=$\frac{ctgθ}{2n-1}$（n=1，2---）
（3）由以上分析可知，若將運動情況逆轉，則依以上兩問題中的結論可確定的Φ角方向拋出質點，則質點將沿原路返回；由以上分析可知，在斜面上拋出質點的速度方向與斜面的夾角只要滿足tanΦ=$\frac{ctgθ}{k}$（k=1，2--）時，質點便能返回原出發(fā)點．
答：Φ角應滿足條件為tanΦ=$\frac{ctgθ}{k}$（k=1，2--）

點評 本題考查運動的合成與分解與牛頓第二定律的應用，該題難度較大，為競賽題目，對學生分析及應用數(shù)學規(guī)律求解物理問題的能力要求極高．