Question

19．一宇航員到達(dá)半徑為R、密度均勻的某星球表面，做如下實(shí)驗(yàn)：用不可伸長的輕繩拴一質(zhì)量為m的小球，繩上端固定在O點(diǎn)，如圖所示，在最低點(diǎn)給小球某一初速度，使其繞O點(diǎn)在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得繩的拉力大小F隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖乙所示．若F₁的大小等于7F₂，且設(shè)R，m，引力常量為G，F(xiàn)₂為已知量，忽略各種阻力，則以下說法正確的是（　　）

• A． 該星球表面的重力加速度為$\frac{{F}_{2}}{m}$
• B． 衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{Gm}{R}}$
• C． 小球通過最高點(diǎn)的最小速度為$\sqrt{gR}$
• D． 星球的質(zhì)量為$\frac{{F}_{2}{R}^{2}}{Gm}$

Answer 1

分析 （1）對(duì)砝碼受力分析，在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)，由向心力的公式和整個(gè)過程的機(jī)械能守恒可以求得重力加速度的大�。�
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力可以求得星球的第一宇宙速度．
（3）對(duì)小球在最高點(diǎn)運(yùn)用牛頓第二定律分析求解最小速度大�。�
（4）求得星球表面的重力加速度的大小，再由在星球表面時(shí)，萬有引力和重力近似相等，可以求得星球的質(zhì)量．

解答 解：A、設(shè)砝碼在最低點(diǎn)時(shí)細(xì)線的拉力為F₁，速度為v₁，則有：
F₁-mg=m$\frac{v_1^2}{R}$…①
設(shè)砝碼在最高點(diǎn)細(xì)線的拉力為F₂，速度為v₂，則有
F₂+mg=m$\frac{v_2^2}{R}$…②
由機(jī)械能守恒定律得：
mg2r+$\frac{1}{2}$mV₂²=$\frac{1}{2}$mV₁² …③
由①、②、③解得：
g=$\frac{{{F_1}-{F_2}}}{6m}$…④
F₁=7F₂，
所以該星球表面的重力加速度為$\frac{F_2}{m}$．故A正確．
B、根據(jù)萬有引力提供向心力得：G$\frac{mM}{R^2}$=$m\frac{v^2}{R}$
衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，M為星球質(zhì)量，故B錯(cuò)誤．
C、小球在最高點(diǎn)受重力和繩子拉力，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：
F₂+mg=m$\frac{v_2^2}{R}$＞mg
所以小球在最高點(diǎn)的最小速v₂＞$\sqrt{gR}$，故C錯(cuò)誤；
D、在星球表面，萬有引力近似等于重力
G$\frac{Mm′}{R^2}$=m′g…⑤
由④、⑤解得：M=$\frac{{{F_2}{R^2}}}{Gm}$，故D正確；
故選：AD

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找出向心力的大小，可以求得重力加速度，
知道在星球表面時(shí)，萬有引力和重力近似相等，而貼著星球的表面做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體的重力就作為做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．