Question

7．如圖所示，寬度為L(zhǎng)的粗糙平行金屬導(dǎo)軌PQ和P′Q′傾斜放置，頂端QQ′之間連接一個(gè)阻值為R的電阻和開關(guān)S，底端PP′處與一小段水平軌道用光滑圓弧相連．已知底端PP′離地面的高度為h，傾斜導(dǎo)軌處于垂直于導(dǎo)軌平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出）中．若斷開開關(guān)S，將一根質(zhì)量為m、電阻為r、長(zhǎng)也為L(zhǎng)的金屬棒從AA′處靜止開始滑下，金屬棒落地點(diǎn)離PP′的水平距離為x₁；若閉合開關(guān)S，將金屬棒仍從AA′處靜止開始滑下，則金屬棒落地點(diǎn)離PP′的水平距離為x₂．不計(jì)導(dǎo)軌電阻，忽略金屬棒經(jīng)過PP′處的能量損失，已知重力加速度為g，求：
（1）開關(guān)斷開時(shí)，金屬棒離開底端PP′的速度大��；
（2）開關(guān)閉合時(shí)，金屬棒在下滑過程中產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）開關(guān)S仍閉合，金屬棒從比AA′更高處靜止開始滑下，水平射程仍為x₂，求電阻R上消耗的最大電功率．

Answer 1

分析 （1）金屬棒離開底端PP′后，做平拋運(yùn)動(dòng)，已知水平距離和高度，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，可以求出棒開底端PP′的速度大�。�
（2）開關(guān)閉合后，金屬棒下滑時(shí)，需要克服安培力做功產(chǎn)生焦耳熱，根據(jù)能量守恒定律求解焦耳熱；
（3）根據(jù)平拋的水平距離相等，說明金屬棒離開PP′時(shí)的速度相等，金屬棒在傾斜導(dǎo)軌上應(yīng)先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，然后勻速運(yùn)動(dòng)，勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大，再求解電阻R上消耗的最大電功率．

解答 解：（1）開關(guān)斷開時(shí)，設(shè)金屬棒離開底端PP′的速度大小為v₁，在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則：
在水平方向上：x₁=v₁t
在豎直方向上有：h=$\frac{1}{2}$gt²
聯(lián)立可得：v₁=x₁$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
（2）開關(guān)斷開時(shí)，在金屬棒沿傾斜導(dǎo)軌下滑的過程中，重力做功為W_G，摩擦力做功為W_F．
根據(jù)動(dòng)能定理可得：W_G+W_F=$\frac{1}{2}$mv₁²
根據(jù)結(jié)果可得，開關(guān)閉合時(shí)，金屬棒離開底端PP′的速度：v₂=x₂$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
在金屬棒沿傾斜導(dǎo)軌下滑的過程中，重力做功和摩擦力做功與開關(guān)斷開時(shí)相同，安培力做功為W_安，系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱為Q，
由動(dòng)能定理可得：W_G+W_F+W_安=$\frac{1}{2}$mv₂²
又由功能關(guān)系可得：Q=|W_安|
金屬棒產(chǎn)生的焦耳熱為：Q_r=$\frac{r}{R+r}$Q
聯(lián)立上述方程可得：Q_r=$\frac{r}{R+r}$•$\frac{mg}{4h}$（x₁²-x₂²）．
（3）據(jù)題，開關(guān)S仍閉合，金屬棒從比AA′更高處靜止開始滑下，水平射程仍為x₂，說明金屬棒離開PP′時(shí)的速度相等，則知金屬棒在傾斜導(dǎo)軌上先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，然后勻速運(yùn)動(dòng)．勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大，金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，電阻R上消耗的電功率最大．
此時(shí)，金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=BLv₂．
電阻R兩端的電壓 U=$\frac{R}{R+r}$E
電阻R上消耗的最大電功率為 P=$\frac{{U}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 P=$\frac{R{B}^{2}{L}^{2}{x}_{2}^{2}g}{2h（R+r）^{2}}$
答：
（1）開關(guān)斷開時(shí)，金屬棒離開底端PP′的速度大小為x₁$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（2）開關(guān)閉合時(shí)，金屬棒在下滑過程中產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{r}{R+r}$•$\frac{mg}{4h}$（x₁²-x₂²）；
（3）電阻R上消耗的最大電功率為$\frac{R{B}^{2}{L}^{2}{x}_{2}^{2}g}{2h（R+r）^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題首先要掌握平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法，其次能運(yùn)用能量守恒定律求解熱量，都是常用的思路，平時(shí)要多加強(qiáng)這方面的練習(xí)，熟練掌握．