Question

【題目】2019年1月3日，嫦娥四號探測器成功著陸在月球背面，并通過“鵲橋”中繼衛(wèi)星傳回了世界上第一張近距離拍攝月球背面的圖片。此次任務(wù)實(shí)現(xiàn)了人類探測器首次在月球背面軟著陸、首次在月球背面通過中繼衛(wèi)星與地球通訊，因而開啟了人類探索月球的新篇章。

（1）為了盡可能減小著陸過程中月球?qū)︼w船的沖擊力，探測器在距月面非常近的距離h處才關(guān)閉發(fā)動機(jī)，此時速度相對月球表面豎直向下，大小為v，然后僅在月球重力作用下豎直下落，接觸月面時通過其上的“四條腿”緩沖，平穩(wěn)地停在月面，緩沖時間為t，如圖1所示。已知月球表面附近的力加速度為，探測器質(zhì)量為，求：

①探測器與月面接觸前瞬間相對月球表面的速度v的大小。

②月球?qū)μ綔y器的平均沖擊力F的大小。

（2）探測器在月球背面著陸的難度要比在月球正面著陸大很多，其主要的原因在于：由于月球的遮擋，著陸前探測器將無法和地球之間實(shí)現(xiàn)通訊。2018年5月，我國發(fā)射了一顆名為“鵲橋”的中繼衛(wèi)星，在地球和月球背面的探測器之間搭了一個“橋”，從而有效地解決了通訊的問題。為了實(shí)現(xiàn)通訊和節(jié)約能量，“鵲橋”的理想位置就是固繞“地一月”系統(tǒng)的一個拉格朗日點(diǎn)運(yùn)動，如圖2所示。所謂“地一月”系統(tǒng)的拉格朗日點(diǎn)是指空間中的某個點(diǎn)，在該點(diǎn)放置一個質(zhì)量很小的天體，該天體僅在地球和月球的萬有引力作用下保持與地球和月球敏相對位置不變。

①設(shè)地球質(zhì)量為M，月球質(zhì)量為m，地球中心和月球中心間的距離為L，月球繞地心運(yùn)動，圖2中所示的拉格朗日點(diǎn)到月球球心的距離為r。推導(dǎo)并寫出r與M、m和L之間的關(guān)系式。

②地球和太陽組成的“日一地”系統(tǒng)同樣存在拉格朗日點(diǎn)，圖3為“日一地”系統(tǒng)示意圖，請?jiān)趫D中太陽和地球所在直線上用符號“*”標(biāo)記出幾個可能拉格朗日點(diǎn)的大概位置。

Answer 1

【答案】(1)①，②；(2)①，②

【解析】

(1)①由運(yùn)動學(xué)公式得

②設(shè)平均沖擊力為F，以豎直向上為正方向，據(jù)動量定理得

解得

(2)①設(shè)在圖中的拉格朗日點(diǎn)有一質(zhì)量為m′的物體（m′＜＜m），則月球?qū)ζ涞娜f有引力

地球?qū)ζ涞娜f有引力F2為

質(zhì)量為m′的物體以地球?yàn)橹行淖鰣A周運(yùn)動，向心力由F1和F2的合力提供，設(shè)圓周運(yùn)動的角速度為ω，則

根據(jù)以上三個式子可得

月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動，它們之間的萬有引力提供向心力，有

聯(lián)立以上兩式子可得

②對于“日-地系統(tǒng)”，在太陽和地球連線上共有3個可能的拉格朗日點(diǎn)，其大概位置如圖所示。