Question

10．某人站在一個星球上以速度v₁豎直上拋一物體，經(jīng)t秒后物體落回手中，已知此星球的半徑為R，萬有引力常量為G．求：
（1）該星球的質(zhì)量M
（2）現(xiàn)將該物體沿星球表面平拋出去，要使其不再落回此星球，則拋出的初速度v至少多大．

Answer 1

分析 （1）由豎直上拋運(yùn)動規(guī)律可求得該星球的重力加速度，根據(jù)在星球表面，萬有引力等于重力列式求解星球質(zhì)量；
（2）若要使物體不再落后星球，應(yīng)使物體繞著星球表面做勻速圓周運(yùn)動，由萬有引力定律充當(dāng)向心力可求得拋出速度

解答 解：（1）物體向上和向下的時間相等，均為$\frac{1}{2}$t，則由速度公式可得：
v₁=g$\frac{t}{2}$；
解得：g=$\frac{2{v}_{1}}{t}$
在星球表面，萬有引力等于重力，則有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{2{v}_{1}{R}^{2}}{Gt}$
（2）在星球表面，要使物體不落后星球，則有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}=mg$
解得：v=$\sqrt{\frac{2{v}_{1}R}{t}}$
答：（1）該星球的質(zhì)量M為$\frac{2{v}_{1}{R}^{2}}{Gt}$；
（2）現(xiàn)將該物體沿星球表面平拋出去，要使其不再落回此星球，則拋出的初速度v至少為$\sqrt{\frac{2{v}_{1}R}{t}}$．

點(diǎn)評 本題中要明確使小球不再回到星球表面是指使小球獲得一定的速度而繞著星球表面做勻速圓周運(yùn)動，難度適中．