Question

如圖所示，豎直平面內(nèi)有一邊長為L、質(zhì)量為m，電阻為R的正方形線框在豎直向下的勻強重力場和水平方向的磁場組成的復合場以初速度v₀水平拋出．磁場方向與線框平面垂直，磁場的磁感應強度隨豎直向下的z軸按B=B₀+kz的規(guī)律均勻增大．已知重力加速度為g．求：
（1）線框豎直方向速度為v₁時，線框中瞬時電流的大��；
（2）線框在復合場中運動的最大電功率；
（3）若線框從開始拋出到瞬時速度大小達到v₂所經(jīng)歷的時間為t，那么線框在時間t內(nèi)的總位移大小為多少．

Answer 1

分析：（1）線框豎直方向速度為v₁時，左右兩邊切割產(chǎn)生的感應電動勢抵消，根據(jù)法拉第電磁感應定律求上下兩邊產(chǎn)生的感應電動勢．e=△BLv₁，△B=k△z=kL．
再由歐姆定律求感應電流．
（2）線框在復合場中運動時，勻速運動時，速度最大，此時重力與磁場力平衡，由平衡條件，結合安培力表達式，求出最大速度．框在復合場中運動的最大電功率與重力功率相等．
（3）線框從拋出到速度v₂過程，根據(jù)牛頓第二定律：mg-(B2-B1)IL=ma=m

△v2

△t

，得到速度的變化量，再兩邊求和，運用積分法即可求得總位移大小．

解答：解：（1）線框豎直方向速度為v₁時，左右兩邊切割產(chǎn)生的感應電動勢抵消，上下兩邊產(chǎn)生的總感應電動勢為：e=△BLv₁，
而△B=k△z=kL，則得e=kL²v₁
線框中瞬時電流的大小為i=

e

R

=

kL2v1

R

．
（2）由線框在復合場中的速度最大時，重力與磁場力平衡得
   mg=(B2-B1)IL=

(B2-B1)2L2vmz

R

=

k2L4vmz

R

∴vmz=

mgR

k2L4

由能量關系得：線框在復合場中運動的最大電功率與重力功率相等，即有
  Pmax=mgvmz=

m2g2R

k2L4

（3）線框從拋出到速度v₂過程，由牛頓第二定律得  mg-（B₂-B₁）IL=ma=m

△vz

△t

則得 mg△t-

(B2-B1)2L2vz

R

△t=m△v_z
兩邊求和得 
   mg△t-

(B2-B1)2L2vz

R

△t=m△v_z
又v_z△t=△z，B₂-B₁=kL，
則得 mgt-

k2L4

R

△z=m

v 2 2 - v 2 0

時間t內(nèi)z方向位移△z=

(mgt-m v 2 2 - v 2 0 )R

k2L4

而線框水平所受的安培力的合力為零，所以水平方向做勻速直線運動．則
時間t內(nèi)線框的總位移大小為s=

(mgt-m v 2 2 - v 2 0 )2R2 k4L8 + v 2 0 t2

答：
（1）線框豎直方向速度為v₁時，線框中瞬時電流的大小為

kL2v1

R

；
（2）線框在復合場中運動的最大電功率是

m2g2R

k2L4

；
（3）若線框從開始拋出到瞬時速度大小達到v₂所經(jīng)歷的時間為t，線框在時間t內(nèi)的總位移大小為為s=

(mgt-m v 2 2 - v 2 0 )2R2 k4L8 + v 2 0 t2

．

點評：本題中磁場是非勻強磁場，線框四邊都切割磁感線，左右兩邊電動勢抵消，所受的安培力也抵消，根據(jù)E=BLv分別得到上下兩邊的電動勢，再求總電動勢．本題的難點是運用積分法求豎直方向的位移，其切入口是牛頓第二定律及加速度的定義式．