Question

2．在如圖甲所示的半徑為r的豎直圓柱形區(qū)域內(nèi)，存在豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間的變化關(guān)系為B=kt（k＞0且為常量）．

（1）將一由細(xì)導(dǎo)線構(gòu)成的半徑為r、電阻為R₀的導(dǎo)體圓環(huán)水平固定在上述磁場(chǎng)中，并使圓環(huán)中心與磁場(chǎng)區(qū)域的中心重合．求在T時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體圓環(huán)產(chǎn)生的焦耳熱．
（2）上述導(dǎo)體圓環(huán)之所以會(huì)產(chǎn)生電流是因?yàn)樽兓�的磁�?chǎng)會(huì)在空間激發(fā)渦旋電場(chǎng)，該渦旋電場(chǎng)趨使導(dǎo)體內(nèi)的自由電荷定向移動(dòng)，形成電流．如圖乙所示，變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生的渦旋電場(chǎng)存在于磁場(chǎng)內(nèi)外的廣闊空間中，其電場(chǎng)線是在水平面內(nèi)的一系列沿順時(shí)針?lè)较虻耐�心圓（從上向下看），圓心與磁場(chǎng)區(qū)域的中心重合．在半徑為r的圓周上，渦旋電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小處處相等，并且可以用E_渦=$\frac{?}{2πr}$，其中ε為由于磁場(chǎng)變化在半徑為r的導(dǎo)體圓環(huán)中產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)．如圖丙所示，在磁場(chǎng)區(qū)域的水平面內(nèi)固定一個(gè)內(nèi)壁光滑的絕緣環(huán)形真空細(xì)管道，其內(nèi)環(huán)半徑為r，管道中心與磁場(chǎng)區(qū)域的中心重合．由于細(xì)管道半徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于r，因此細(xì)管道內(nèi)各處電場(chǎng)強(qiáng)度大小可視為相等的．某時(shí)刻，將管道內(nèi)電荷量為q的帶正電小球由靜止釋放（小球的直徑略小于真空細(xì)管道的直徑），小球受到切向的渦旋電場(chǎng)力的作用而運(yùn)動(dòng)，該力將改變小球速度的大�。�該渦旋電場(chǎng)力與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系和靜電力與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系相同．假設(shè)小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中其電荷量保持不變，忽略小球受到的重力、小球運(yùn)動(dòng)時(shí)激發(fā)的磁場(chǎng)以及相對(duì)論效應(yīng)．
①若小球由靜止經(jīng)過(guò)一段時(shí)間加速，獲得動(dòng)能E_m，求小球在這段時(shí)間內(nèi)在真空細(xì)管道內(nèi)運(yùn)動(dòng)的圈數(shù)；
②若在真空細(xì)管道內(nèi)部空間加有方向豎直向上的恒定勻強(qiáng)磁場(chǎng)，小球開始運(yùn)動(dòng)后經(jīng)過(guò)時(shí)間t₀，小球與環(huán)形真空細(xì)管道之間恰好沒(méi)有作用力，求在真空細(xì)管道內(nèi)部所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，結(jié)合閉合電路歐姆定律，及焦耳定律，即可求解；
（2）根據(jù)題意，求得斡旋電場(chǎng)，再確定電場(chǎng)力的大小，根據(jù)動(dòng)能定理，從而求出運(yùn)動(dòng)的圈數(shù)；再由運(yùn)動(dòng)的合成與分解，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與牛頓第二定律，即可求解．

解答 解：（1）導(dǎo)體圓環(huán)內(nèi)的磁通量發(fā)生變化，將產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)，
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，感生電動(dòng)勢(shì)為$E=\frac{△Φ}{△t}=\frac{△Bs}{△t}$=πr²k，
$I=\frac{E}{{R}_{0}}=\frac{π{r}^{2}k}{{R}_{0}}$，
在T時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體圓環(huán)產(chǎn)生的焦耳熱為：
Q=I²R₀T，
解得$Q=\frac{T{π}^{2}{k}^{2}{r}^{4}}{{R}_{0}}$
（2）①根據(jù)題意可知，磁場(chǎng)變化將在真空管道處產(chǎn)生渦旋電場(chǎng)，該電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：
${E}_{電}=\frac{E}{2πr}=\frac{kr}{2}$，
小球在該電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力的作用，電場(chǎng)力的大小為：
$F={E}_{電}q=\frac{kqr}{2}$，
電場(chǎng)力的方向與真空管道相切，即與速度方向始終相同，小球?qū)��?huì)被加速，動(dòng)能增大，
根據(jù)動(dòng)能定理可得 Fs=E_m，小球運(yùn)動(dòng)的圈數(shù)為 $N=\frac{s}{2πr}$，
解得：N=$\frac{{E}_{m}}{kqπ{r}^{2}}$；
②小球的切向加速度大小為：$a=\frac{F}{m}=\frac{kqr}{2m}$，
由于小球沿速度方向受到大小恒定的電場(chǎng)力，所以經(jīng)過(guò)時(shí)間t₀，
小球的速度大小v滿足v=at₀，
小球沿管道做圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樾∏蚺c管道之間沒(méi)有相互作用力，所以，小球受到洛倫茲力提供小球的向心力，
設(shè)所加的洛倫茲力提供小球的向心力，設(shè)所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀，
則有：$qv{B}_{0}=\frac{m{v}^{2}}{r}$，
解得：${B}_{0}=\frac{1}{2}k{t}_{0}$．
答：（1）在T時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體圓環(huán)產(chǎn)生的焦耳熱$\frac{T{π}^{2}{k}^{2}{r}^{4}}{{R}_{0}}$；
（2）①若小球由靜止經(jīng)過(guò)一段時(shí)間加速，獲得動(dòng)能E_m，求小球在這段時(shí)間內(nèi)在真空細(xì)管道內(nèi)運(yùn)動(dòng)的圈數(shù)$\frac{{E}_{m}}{kqπ{r}^{2}}$；
②若在真空細(xì)管道內(nèi)部空間加有方向豎直向上的恒定勻強(qiáng)磁場(chǎng)，小球開始運(yùn)動(dòng)后經(jīng)過(guò)時(shí)間t₀，小球與環(huán)形真空細(xì)管道之間恰好沒(méi)有作用力，求在真空細(xì)管道內(nèi)部所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$\frac{1}{2}k{t}_{0}$．

點(diǎn)評(píng) 考查電磁學(xué)與力學(xué)綜合運(yùn)用的內(nèi)容，掌握法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律與焦耳定律的應(yīng)用，理解動(dòng)能定理及牛頓運(yùn)動(dòng)定理，
注意電場(chǎng)強(qiáng)度與電動(dòng)勢(shì)的符號(hào)區(qū)別，此題難度較大．