Question

19．如圖將傾角θ=30°表面粗糙的斜面固定在地面上，用一根輕質(zhì)細(xì)繩跨過(guò)兩個(gè)光滑的半徑很小的滑輪連接甲、乙兩物體（視為質(zhì)點(diǎn)），把甲物體放在斜面上且細(xì)繩與斜面平行，把乙物體懸在空中，并使細(xì)繩拉直且偏離豎直方向α=60°．開(kāi)始時(shí)甲、乙均靜止．現(xiàn)同時(shí)釋放甲、乙兩物體，乙物體將在豎直平面內(nèi)往返運(yùn)動(dòng)，測(cè)得繩長(zhǎng)OA為L(zhǎng)=0.5m，當(dāng)乙物體運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)，甲物體在斜面上均恰好未滑動(dòng)，已知乙物體的質(zhì)量為m=lkg，忽略空氣阻力，g=l0m/s²．求：
（1）乙物體運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)速度的大小及繩子拉力的大�。ńY(jié)果可用根式表示）．
（2）甲物體的質(zhì)量以及斜面對(duì)甲物體的最大靜摩擦力的大�。�
（3）斜面與甲物體之間的動(dòng)摩擦因數(shù)（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出乙物體運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的速度，在最低點(diǎn)，拉力和重力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．
（2）乙物體擺到最低點(diǎn)時(shí)拉力最大，擺到最高點(diǎn)時(shí)拉力最下，知乙物體擺到最低點(diǎn)時(shí)，甲物體達(dá)到向下的最大靜摩擦力，擺到最高點(diǎn)時(shí)，甲物體有向上的最大靜摩擦力．分別求出乙物體在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)繩子的拉力，然后對(duì)甲物體列出平衡方程，解出甲物體的質(zhì)量和最大靜摩擦力大�。�
（3）根據(jù)f=μF_n求出斜面與甲物體的動(dòng)摩擦因數(shù)．

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理，得：
mgL（1-cosα）=$\frac{1}{2}$mv²
代入數(shù)據(jù)，則：v=$\sqrt{5}$m/s
根據(jù)牛頓第二定律，有：T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
則T=mg+m$\frac{{v}^{2}}{L}$=10+1×$\frac{5}{0.5}$N=20N
故乙物體擺到最低點(diǎn)的速度為$\sqrt{5}$m/s，此時(shí)繩子的拉力為20N．
（2）物體擺到最低點(diǎn)時(shí)繩子的拉力F₁=20N
物體擺到最高點(diǎn)時(shí)有：mgcosα=F₂=5N．
對(duì)甲物體有：F₁=f_m+m_甲gsinθ
F₂+f_m=m_甲gsinθ
聯(lián)立兩式解得：f_m=7.5N，m_甲=2.5kg
（3）最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．則有f_m=μmgcosθ
所以μ=$\frac{{f}_{m}}{{m}_{甲}gcosθ}$=$\frac{7.5}{25×\frac{\sqrt{3}}{2}}$≈0.35
故斜面與甲物體之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為0.35；
答：（1）乙物體運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)速度的大小及繩子拉力的大�。ńY(jié)果可用根式表示）．
（2）甲物體的質(zhì)量以及斜面對(duì)甲物體的最大靜摩擦力的大�。�
（3）斜面與甲物體之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.35．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道乙物體擺到最低點(diǎn)時(shí)有最大拉力，擺到最高點(diǎn)時(shí)有最小拉力．以及知道在乙物體擺到最低點(diǎn)時(shí)有沿斜面向下的最大靜摩擦力，擺到最高點(diǎn)時(shí)有沿斜面向上的最大靜摩擦力．