Question

11．一帶有$\frac{1}{4}$圓弧形的槽固定在水平桌面上，如圖所示，現(xiàn)用一不可伸長的細(xì)繩（長度大于$\sqrt{2}$R兩端連接兩個(gè)質(zhì)量分別為m₁、m₂的可視為質(zhì)點(diǎn)的小球a和b，開始球a位于槽的最高點(diǎn)A處，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，其中B為弧形槽的最低點(diǎn)且與桌面的左邊緣平齊．已知m₁＞m₂，弧形槽的半徑為R，B點(diǎn)距離地面的高度為2R，忽略一切摩擦，求：
（1）當(dāng)裝置由靜止釋放，為使小球a能夠到達(dá)B點(diǎn)，則兩球的質(zhì)量應(yīng)滿足什么條件？
（2）如果小球a到達(dá)B點(diǎn)時(shí)細(xì)繩突然斷裂，則小球a的落地點(diǎn)到桌子邊緣的水平間距多大？

Answer 1

分析 （1）裝置由靜止釋放后，兩球構(gòu)成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律和兩球的速度關(guān)系列式，得到a球到達(dá)B點(diǎn)速度的表達(dá)式，根據(jù)小球a能夠到達(dá)B點(diǎn)的速度應(yīng)大于等于零，求出兩球的質(zhì)量關(guān)系．
（2）小球a到達(dá)B點(diǎn)時(shí)細(xì)繩突然斷裂，a球做平拋運(yùn)動(dòng)，由分運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解．

解答 解：（1）設(shè)a球滑到B點(diǎn)時(shí)的速度為v₁，此時(shí)b球的速度為v₂．由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：
m₁gR-m₂g•$\sqrt{2}$R=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
又因?yàn)?v₂=v₁cos45°
由以上兩式解得：v₁=$\sqrt{\frac{4（{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}）gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$
因此要使a能夠到達(dá)B點(diǎn)，應(yīng)滿足 v₁≥0，且v₂≥0，則得：
（m₁-$\sqrt{2}$m₂）gR≥0
所以有：m₁≥$\sqrt{2}$m₂．
（2）小球a到達(dá)B點(diǎn)時(shí)細(xì)繩突然斷裂后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  x=v₁t
解得：x=4R$\sqrt{\frac{{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$
答：（1）兩球的質(zhì)量應(yīng)滿足的條件是 m₁≥$\sqrt{2}$m₂．
（2）小球a的落地點(diǎn)到桌子邊緣的水平間距是4R$\sqrt{\frac{{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是繩系系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題，要知道兩球沿繩子方向的分速度相等，系統(tǒng)的機(jī)械能是守恒的，但對(duì)單個(gè)小球機(jī)械能并不守恒．