Question

如圖所示，在xoy坐標(biāo)系第二象限有一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)正方形oabc區(qū)域，ao、oc邊剛好與x、y軸重合．正方區(qū)域內(nèi)有沿y軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場(chǎng)；第四象限內(nèi)有垂直紙面朝里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B．一帶電粒子質(zhì)量為m，電量為q，以初速度v₀從ab邊的中點(diǎn)d垂直電場(chǎng)方向進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域，并從x軸上的坐標(biāo)原點(diǎn)O射入第四象限．不計(jì)粒子的重力．試求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小
（2）粒子再次到達(dá)x軸的點(diǎn)P（圖中未畫出）到原點(diǎn)O的距離
（3）粒子從d點(diǎn)到p點(diǎn)的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由類平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)可以求出電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可以求出粒子的軌道半徑，然后由幾何知識(shí)求出OP間的距離；
（3）求出粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出粒子從d到P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答：解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
x軸方向：L=v₀t，
y方向：

L

2

=

1

2

at²=

1

2

qE

m

t²，
解得電場(chǎng)強(qiáng)度：E=

m v 2 0

qL

；
（2）設(shè)粒子到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)豎直分速度為v_y，
粒子在電場(chǎng)中做類似平拋運(yùn)動(dòng)，
x方向：L=v₀t…①
y方向：

L

2

=

vy

2

t…②
由①②得：v_y=v₀，t=

L

v0

，
設(shè)粒子到達(dá)0點(diǎn)時(shí)速度為v，方向與x軸夾角為α
則tanα=

vy

v0

=1，解得：α=45°，
v=

v 2 0 + v 2 y

=

2

v₀，
離子進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m

v2

r

，
解得：r=

2 mv0

qB

，
由幾何知識(shí)得：OP=

2

r=

2mv0

qB

；
（3）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=

2πm

qB

，
粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：
t′=

θ

360°

T=

2α

360°

T=

2×45°

360°

×

2πm

qB

=

πm

2qB

，
粒子從d點(diǎn)到p點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：
t_總=t+t′=

πm

2qB

+

L

v0

；
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為

m v 2 0

qL

；
（2）粒子再次到達(dá)x軸的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為

2mv0

qB

；
（3）粒子從d點(diǎn)到p點(diǎn)的時(shí)間為

πm

2qB

+

L

v0

．

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，要注意應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解；而在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在解題時(shí)要注意應(yīng)用好平拋和圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)．