Question

（20分）火箭通過高速噴射燃?xì)猱a(chǎn)生推力。設(shè)溫度T₁、壓強(qiáng)p₁的熾熱高壓氣體在燃燒室內(nèi)源源不斷生成，并通過管道由狹窄的噴氣口排入氣壓p₂的環(huán)境。假設(shè)燃?xì)饪梢暈槔硐霘怏w，其摩爾質(zhì)量為μ，每摩爾燃?xì)獾膬?nèi)能為u=c_VT（c_V是常量，T為燃?xì)獾慕^對溫度）。在快速流動過程中，對管道內(nèi)任意處的兩個非常靠近的橫截面間的氣體，可以認(rèn)為它與周圍沒有熱交換，但其內(nèi)部則達(dá)到平衡狀態(tài)，且有均勻的壓強(qiáng)p、溫度T和密度ρ，它們的數(shù)值隨著流動而不斷變化，并滿足絕熱方程（恒量），式中R為普適氣體常量，求噴氣口處氣體的溫度與相對火箭的噴射速率。

Answer 1

解析：

于火箭燃燒室出口處與噴氣口各取截面與，它們的面積分別為和，由題意，，以其間管道內(nèi)的氣體為研究對象，如圖所示．設(shè)經(jīng)過很短時間，這部分氣體流至截面與之間，間、間的微小體積分別為、，兩處氣體密度為、，流速為、．氣流達(dá)到穩(wěn)恒時，內(nèi)部一切物理量分布只依賴于位置，與時間無關(guān)．由此可知，盡管間氣體更換，但總的質(zhì)量與能量不變。

   

先按絕熱近似求噴氣口的氣體溫度。質(zhì)量守恒給出

，       (1)

即氣體可視為由氣體絕熱移動所得．事實上，因氣流穩(wěn)恒，氣體流出噴口時將再現(xiàn)氣體狀態(tài)．對質(zhì)量的氣體，利用理想氣體的狀態(tài)方程

                                              (2)

和絕熱過程方程

，                       (3)

可得

．                                         (4)

再通過能量守恒求氣體的噴射速率．由(1)式及，可得

，                                        (5)

再利用(1)、(3)式，知，因， ，故

．                                                      (6)

整個體系經(jīng)時間的總能量（包括宏觀流動機(jī)械能與微觀熱運動內(nèi)能）增量為部分與部分的能量差．由于重力勢能變化可忽略，在理想氣體近似下并考慮到(6)式，有

．                 (7)

體系移動過程中，外界做的總功為

．                                     (8)

根據(jù)能量守恒定律，絕熱過程滿足

，                                                      (9)

得

，           (10)

其中利用了(2)、(4)兩式。

評分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分。

（2)式1分，(3)式2分，(4)式3分，(6)式1分，(7)式6分，(8)式4分，(9)式1分，(10)式2分。