Question

17．如圖所示，兩個光滑的水平導軌間距為L．左側(cè)連接有阻值為R的電阻，磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場垂直穿過導軌平面，有一質(zhì)量為m的導體棒以初速度v₀向右運動．設(shè)除左邊的電阻R外．其它電阻不計．棒向右移動最遠的距離為s，問當棒運動到λs時0＜λ＜L，證明此時電阻R上的熱功率：P=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（1-λ）^{2}{v}_{0}^{2}}{R}$．

Answer 1

分析 導體棒向右運動時，受到向左的安培力作用而減速運動，根據(jù)牛頓第二定律和加速度的定義式，運用積分法研究整個過程，再對棒運動λs時研究，求出電路中電流，從而得到R上的熱功率．

解答 證明：取向右為正方向．根據(jù)牛頓第二定律得：
-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=ma=m$\frac{△v}{△t}$…①
即得-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}$v△t=m△v…②
兩邊求和得：$\sum_{\;}^{\;}$（-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}$v△t）=$\sum_{\;}^{\;}$m△v…③
又v△t=△x ④
對整個過程，由③求和得-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}$s=m（0-v₀），
即有$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}$s=mv₀…⑤
從開始運動到棒運動到λs的過程，由③求和得：-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}$λs=m（v-v₀）…⑥
由⑤⑥解得棒運動到λs速度為：v=（1-λ）v₀…⑦
此時電阻R上的熱功率為：P=$\frac{{E}^{2}}{R}$=$\frac{（BLv）^{2}}{R}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（1-λ）^{2}{v}_{0}^{2}}{R}$．
得證．

點評 本題棒做的是非勻減速運動，不能根據(jù)運動學公式求其速度，而運用積分法研究．