Question

（2012?寧波模擬）如圖所示，直角坐標(biāo)系xoy位于豎直平面內(nèi)，在?

3

m≤x≤0的區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=4.0×10^-4T、方向垂直于紙面向里的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其左邊界與x軸交于P點(diǎn)；在x＞0的區(qū)域內(nèi)有電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=4N/C、方向沿y軸正方向的條形勻強(qiáng)電場(chǎng)，其寬度d=2m．一質(zhì)量m=6.4×10^-27kg、電荷量q=?-3.2×10?¹⁹C的帶電粒子從P點(diǎn)以速度v=4×10⁴m/s，沿與x軸正方向成α=60°角射入磁場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)最終通過x軸上的Q點(diǎn)（圖中未標(biāo)出），不計(jì)粒子重力．求：
（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）當(dāng)電場(chǎng)左邊界與y軸重合時(shí)Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（3）若只改變上述電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，要求帶電粒子仍能通過Q點(diǎn)，討論此電場(chǎng)左邊界的橫坐標(biāo)x′與電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E′的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出半徑，作出軌跡，由幾何知識(shí)找出圓心角，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（2）粒子進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，只受電場(chǎng)力，做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解，求出粒子離開電場(chǎng)時(shí)的速度偏向角為θ，由數(shù)學(xué)知識(shí)求出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（3）討論當(dāng)0＜x′＜3m時(shí)，Q點(diǎn)在電場(chǎng)外面右側(cè)，畫出軌跡，研究速度偏向角，求出橫坐標(biāo)x′與電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E′的函數(shù)關(guān)系．
         當(dāng)3m≤x'≤5m時(shí)，Q點(diǎn)在電場(chǎng)里，畫出軌跡，研究偏轉(zhuǎn)距離y，求出橫坐標(biāo)x′與電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E′的函數(shù)關(guān)系．

解答：解：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律 有qvB=

mv2

r

     
           代入數(shù)據(jù)得：r=2m      
      軌跡如圖1交y軸于C點(diǎn)，過P點(diǎn)作v的垂線交y軸于O₁點(diǎn)，
      由幾何關(guān)系得O₁為粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，且圓心角為60°．
      在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

T

6

=

1

6

×

2πm

qB

                      
      代入數(shù)據(jù)得：t=5.23×10^-5s                        
    （2）帶電粒子離開磁場(chǎng)垂直進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)
     設(shè)帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)的速度偏向角為θ，如圖1，
     則：tanθ=

vy

v

=

Eqd

mv2

=

4×3.2×10-19×2

6.4×10-27×16×108

=

1

4

     設(shè)Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x
    則：tanθ=

1

x-1

=

1

4

             
     故x=5m．                        
    （3）電場(chǎng)左邊界的橫坐標(biāo)為x′．
   當(dāng)0＜x′＜3m時(shí)，如圖2，設(shè)粒子離開電場(chǎng)時(shí)的速度偏向角為θ′，
    則：tanθ′=

E′qd

mv2

           
   又：tanθ′=

1

4-x′

          
    由上兩式得：E′=

16

4-x′

     
   當(dāng)3m≤x'≤5m時(shí)，如圖3，有y=

1

2

at2=

E′q(5-x′)2

2mv2

       將y=1m及各數(shù)據(jù)代入上式得：E′=

64

(5-x′)2

    
答：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=5.23×10^-5s．
    （2）當(dāng)電場(chǎng)左邊界與y軸重合時(shí)Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=5m．
    （3）電場(chǎng)左邊界的橫坐標(biāo)x′與電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E′的函數(shù)關(guān)系為E′=

64

(5-x′)2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是磁場(chǎng)和電場(chǎng)組合場(chǎng)問題，考查分析和解決綜合題的能力，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡．