Question

11．如圖所示，勻強(qiáng)磁場方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.40T，OCA導(dǎo)軌OA直導(dǎo)軌分別在O點(diǎn)和A點(diǎn)接一阻值R₁=3.0Ω和R₂=6.0Ω幾何尺寸可忽略的定值電阻．導(dǎo)軌OCA的曲線方程為y=1.0sin（$\frac{πx}{3}$）（m）．金屬棒ab長1.5m．以速度v=5.0m/s水平向右勻速運(yùn)動(dòng)（b點(diǎn)始終在x軸上）．設(shè)金屬棒與導(dǎo)軌接觸良好，摩擦不計(jì)．電路中除了電阻R₁和R₂外．其余電阻均不計(jì)，曲線OCA與x軸之間所圍面積約為1.9m2．求：
（1）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)R₁的最大功率；
（2）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)從x=0到x=3m的過程中通過金屬棒ab的電量；
（3）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)從x=0到x=3m的過程中．外力必須做多少功？

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出感應(yīng)電動(dòng)勢的最大值，然后求出電阻的最大功率．
（2）由法拉第電磁感應(yīng)定律求出平均感應(yīng)電動(dòng)勢，由歐姆定律求出感應(yīng)電流，最后由電流的定義式求出電荷量．
（3）金屬棒運(yùn)動(dòng)過程產(chǎn)生的電流為正弦式交變電流，求出感應(yīng)電動(dòng)勢的有效值，然后求出外力做功．

解答 解：（1）當(dāng)x=1.5m時(shí)金屬棒切割磁感線的有效長度最大，為：L=1m，
感應(yīng)電動(dòng)勢的最大值：E_m=BLv=0.4×1×5=2V，
電阻R₁的最大功率：P₁=$\frac{{E}_{m}^{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{{2}^{2}}{3}$=$\frac{4}{3}$W；
（2）整個(gè)過程，平均感應(yīng)電動(dòng)勢：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BS}{△t}$，
兩電阻并聯(lián)，并聯(lián)總電阻：R=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{3×6}{3+6}$=2Ω，
感應(yīng)電流：I=$\frac{\overline{E}}{R}$，電荷量：q=I△t=$\frac{BS}{R}$=$\frac{0.4×1.9}{2}$=0.38C；
（3）金屬棒運(yùn)動(dòng)過程切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，
由于金屬棒切割磁感線的有效長度按正弦規(guī)律變化，
產(chǎn)生正弦時(shí)交流電，交流電電動(dòng)勢的有效值：E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$V，
金屬棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)，外力做功轉(zhuǎn)化為焦耳熱，
外力做功：W=Q=$\frac{{E}^{2}}{R}$t=$\frac{{E}^{2}}{R}$×$\frac{x}{v}$=$\frac{（\sqrt{2}）^{2}}{2}$×$\frac{3}{5}$=0.6J；
答：（1）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)R₁的最大功率為$\frac{4}{3}$W；
（2）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)從x=0到x=3m的過程中通過金屬棒ab的電量為0.38C；
（3）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)從x=0到x=3m的過程中．外力必須做了0.6J的功．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求功率的最大值、求電荷量、求功，分析清楚金屬棒的運(yùn)動(dòng)過程是解題的關(guān)鍵；本題中導(dǎo)線的有效切割長度隨時(shí)間作正弦規(guī)律變化，產(chǎn)生正弦式交變電流，提供了一種產(chǎn)生正弦式交變電流的一種方式．