Question

（2005?西城區(qū)模擬）質(zhì)量為m的小球B用一根輕質(zhì)彈簧連接．現(xiàn)把它們放置在豎直固定的內(nèi)壁光滑的直圓筒內(nèi)，平衡時(shí)彈簧的壓縮量為x₀，如圖所示，小球A從小球B的正上方距離為3x₀的P處自由落下，落在小球B上立刻與小球B粘連在一起向下運(yùn)動(dòng)，它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)，并恰能回到0點(diǎn)（設(shè)兩個(gè)小球直徑相等，且遠(yuǎn)小于x₀略小于直圓筒內(nèi)徑），已知彈簧的彈性勢(shì)能為

1

2

k?△x2，其中k為彈簧的勁度系數(shù)，△x為彈簧的形變量．求：
（1）小球A質(zhì)量．
（2）小球A與小球B一起向下運(yùn)動(dòng)時(shí)速度的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理求出小球A與小球B相碰前的速度，再根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出碰后的速度，對(duì)A、B組成的系統(tǒng)，從B點(diǎn)到回到O點(diǎn)的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求出小球A的質(zhì)量．
（2）當(dāng)彈簧的彈力等于A、B兩球的總重力時(shí)，小球A、B的速度最大，根據(jù)力的平衡求出兩球下降的距離，再對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用機(jī)械能守恒定律，求出最大速度．

解答：解：（1）由平衡條件可知：mg=kx₀  
設(shè)A的質(zhì)量為m'，A由靜止下落后與B接觸前的瞬時(shí)速度為v₁，則：m′g3x0=

1

2

m′

v

2 1

∴v1=

6gx0

設(shè)A與B碰撞后的速度為v₁'，有：m'v₁=（m+m'）v₁'∴v1′=

m′

m+m′

6gx0

由于A、B恰能回到O點(diǎn)，據(jù)動(dòng)能定理有：-(m+m′)gx0+

1

2

k

x

2 0

=0-

1

2

(m+m′)v1′2
解得：m'=m   
（2）設(shè)由B點(diǎn)再向下運(yùn)動(dòng)x₁時(shí)，它們的速度達(dá)到最大，此時(shí)它們的加速度為零，有：

(m′+m)g=k(x1+x0)

∴x1=x0

據(jù)機(jī)械能守恒定律有：(m+m′)gx1+

1

2

(m+m′)v1′2+

1

2

k

x

2 0

=

1

2

(m+m′)vm2+

1

2

k(

x

1

+

x

0

)2
解得：vm=

2gx0

答：（1）小球A質(zhì)量等于m．
（2）小球A與小球B一起向下運(yùn)動(dòng)時(shí)速度的最大值為

2gx0

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是選擇好研究的過(guò)程，運(yùn)用合適的規(guī)律列表達(dá)式求解．