Question

（2013?惠州模擬）中心均開有小孔的金屬板C、D與半徑為d的圓形單匝金屬線圈連接，圓形框內有垂直紙面的勻強磁場，大小隨時間變化的關系為B=kt（k未知且k＞0），E、F為磁場邊界，且與C、D板平行．D板右方分布磁場大小均為B₀，方向如圖所示的勻強磁場．區(qū)域Ⅰ的磁場寬度為d，區(qū)域Ⅱ的磁場寬度足夠大．在C板小孔附近有質量為m、電量為q的負離子由靜止開始加速后，經D板小孔垂直進入磁場區(qū)域Ⅰ，不計離子重力．
（1）判斷圓形線框內的磁場方向；
（2）若離子從C板出發(fā)，運動一段時間后又恰能回到C板出發(fā)點，求離子在磁場中運動的總時間；
（3）若改變圓形框內的磁感強度變化率k，離子可從距D板小孔為2d的點穿過E邊界離開磁場，求圓形框內磁感強度的變化率k是多少？

Answer 1

分析：本題（1）的關鍵是根據楞次定律即可求解；題（2）的關鍵是畫出離子運動的軌跡圖，找出圓心，根據幾何知識可求出三個軌跡對應的圓心角，即可求解；題（3）的關鍵是先根據法拉第電磁感應定律求出磁場變化率K，然后畫出離子從距D板小孔為2d的點穿過E邊界離開磁場時存在兩種情況的軌跡圖，根據幾何知識求出圓的半徑，代入即可求解．

解答：解：（1）負離子從C板向D板加速運動，說明D板電勢高，對圓形電路，由楞次定律可知，感應電流方向應是逆時針，所以圓形線框內的磁場方向垂直紙面向里．  
（2）離子在Ⅰ、Ⅱ區(qū)域內作圓周運動，半徑均為R，有：

qv   0 B

0

=

mv 2 0

R

…①
運動周期均為T，有：T=

2πR

v   0

…②
解①②得：T=

2πm

qB   0

… ③
由題意知粒子運動軌跡如圖（甲），將三個軌跡的圓心連接起來，由幾何知識可知，所得三角形為等邊三角形，所以離子在磁場中運動的總時間為：t=2?

π 3

2π

?T+

2π- π 3

2π

?T=

T

3

+

5T

6

=

7T

6

…  ④
解③④得：t=

7πm

3q B   0

… ⑤

（3）單匝圓形線框產生的電動勢為U，由法拉第電磁感應定律得：U=

S△B

△t

=K

πd

2

…⑥
離子從D板小孔射出速度為V，有動能定理得：qU=

1

2

mv

2

… ⑦
解①⑥⑦得：K=

qB 2 0     R 2

2π md 2

… ⑧
離子進入磁場從E邊界射出的運動軌跡有兩種情況：
（Ⅰ）如果離子從小孔下面離開磁場，運動軌跡與F相切，如圖（乙）所示
由幾何關系知：R=d…⑨
解⑧⑨得：K=

qB 2 0

2πm

…⑩
（Ⅱ）如果離子從小孔上面離開磁場，如圖（丙）所示
由幾何關系知：(R+d

)

2

+(2d

)

2

=(2R

)

2

…（11）
解⑧（11）得：K=

25 qB 2 0

18πm

…（12）

答：（1）圓形線框內的磁場方向垂直紙面向里；
（2）離子在磁場中運動的總時間為t=

7πm

3q B   0

；
（3）圓形框內磁感強度的變化率k是

qB 2 0

2πm

或

25 qB 2 0

18πm

點評：遇到帶電粒子在有界磁場中的運動問題，一般思路是“畫軌跡、定圓心、求半徑和圓心角，然后求解”．