Question

【題目】如圖所示為某種彈射裝置的示意圖，該裝置由三部分組成，傳送帶左邊是足夠長(zhǎng)的光滑水平面，一輕質(zhì)彈簧左端固定，右端連接著質(zhì)量M=6.0kg的物塊A.裝置的中間是水平傳送帶，它與左右兩邊的臺(tái)面等高，并能平滑對(duì)接.傳送帶的皮帶輪逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，使傳送帶上表面以u=2.0m/s勻速運(yùn)動(dòng).傳送帶的右邊是一半徑R=1.25m位于豎直平面內(nèi)的光滑圓弧軌道.質(zhì)量m=2.0kg的物塊B從圓弧的最高處由靜止釋放.已知物塊B與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)，傳送帶兩軸之間的距離l=4.5m.設(shè)物塊A、B之間發(fā)生的是正對(duì)彈性碰撞，第一次碰撞前，物塊A靜止.取g=10m/s2.求：

（1）物塊B滑到圓弧的最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力；

（2）物塊B與物塊A第一次碰撞后彈簧的最大彈性勢(shì)能；

（3）如果物塊A、B每次碰撞后，物塊A再回到平衡位置時(shí)彈簧都會(huì)被立即鎖定，而當(dāng)它們?cè)俅闻鲎睬版i定被解除，求物塊B經(jīng)第一次與物塊A碰撞后在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間.

Answer 1

【答案】（1）60N方向豎直向下（2）12J（3）8s

【解析】（1）設(shè)物塊B沿光滑曲面下滑到水平位置時(shí)的速度大小為

由機(jī)械能守恒知：

得

設(shè)物塊B滑到圓弧的最低點(diǎn)C時(shí)受到的支持力大小為F，

由牛頓第二定律得：

解得：

由牛頓第三定律得：物塊B滑到圓弧的最低點(diǎn)C時(shí)受到的支持力大小為，

方向豎直向下。

（2）設(shè)物塊B在傳送帶上滑動(dòng)過(guò)程中因受摩擦力所產(chǎn)生的加速度大小為a，則：

設(shè)物塊B通過(guò)傳送帶后運(yùn)動(dòng)速度大小為，有

聯(lián)立解得：

由于，所以即為物塊B與物塊A第一次碰撞前的速度大小.

設(shè)物塊A、B第一次碰撞后的速度分別為、，取向左為正方向，

由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律得： ，

解得，

彈簧具有的最大彈性勢(shì)能等于碰后物塊M的初動(dòng)能： ；

（3）物塊B經(jīng)第一次與物塊A碰撞后物塊B沿水平臺(tái)面向右勻速運(yùn)動(dòng).

設(shè)物塊B在傳送帶上向右運(yùn)動(dòng)的最大位移為，

由動(dòng)能定理得：

得

所以物塊B不能通過(guò)傳送帶運(yùn)動(dòng)到右邊的曲面上.當(dāng)物塊B在傳送帶上向右運(yùn)動(dòng)的速度為零后，將會(huì)沿傳送帶向左加速運(yùn)動(dòng).可以判斷，物塊B運(yùn)動(dòng)到左邊臺(tái)面時(shí)的速度大小為，繼而與物塊A發(fā)生第二次碰撞.設(shè)第1次碰撞到第2次碰撞之間，物塊B在傳送帶運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

由動(dòng)量定理得：

解得

設(shè)物塊A、B第二次碰撞后的速度分別為、，取向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律得: ，

解得：

當(dāng)物塊B在傳送帶上向右運(yùn)動(dòng)的速度為零后，將會(huì)沿傳送帶向左加速運(yùn)動(dòng).可以判斷，物塊B運(yùn)動(dòng)到左邊臺(tái)面時(shí)的速度大小為，繼而與物塊A發(fā)生第3次碰撞.則第2次碰撞到第3次碰撞之間，物塊B在傳送帶運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2.

由動(dòng)量定理得：

解得

同上計(jì)算可知：物塊B與物塊A第三次碰撞、第四次碰撞……第n次碰撞后物塊B在傳送帶運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tn=s，構(gòu)成無(wú)窮等比數(shù)列，公比q=

由無(wú)窮等比數(shù)列求和公式可知，當(dāng)n→∞時(shí)，有

物塊B經(jīng)第一次與物塊A碰撞后在傳送帶運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為: .