Question

如圖甲所示，水平放置的兩平行金屬板的板長(zhǎng)l不超過0.2m，OO′為兩金屬板的中線．在金屬板的右側(cè)有一區(qū)域足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其豎直左邊界MN與OO′垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.010T，方向垂直于紙面向里．兩金屬板間的電壓U隨時(shí)間t變化的規(guī)律如圖乙所示，現(xiàn)有帶正電的粒子連續(xù)不斷地以速度v₀=1×10⁵m/s，沿兩金屬板的中線射入電場(chǎng)中．已知帶電粒子的荷質(zhì)比

q

m

=1×108C/kg，粒子所受重力和粒子間的庫侖力忽略不計(jì)，不考慮粒子高速運(yùn)動(dòng)的相對(duì)論效應(yīng)．在每個(gè)粒子通過電場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間內(nèi)可以認(rèn)為兩金屬板間的電場(chǎng)強(qiáng)度是不變的．
（1）在t=0.1s時(shí)刻射入電場(chǎng)的帶電粒子恰能從平行金屬板邊緣射出，求該粒子射出電場(chǎng)時(shí)速度的大��；
（2）對(duì)于所有經(jīng)過電場(chǎng)射入磁場(chǎng)的帶電粒子，設(shè)其射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)兩點(diǎn)間的距離為d，請(qǐng)你證明d是一個(gè)不變量．
（3）請(qǐng)你通過必要的計(jì)算說明：為什么在每個(gè)粒子通過電場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間內(nèi)，可以認(rèn)為兩金屬板間的電場(chǎng)強(qiáng)度是不變的．

Answer 1

分析：（1）在t=0.1s時(shí)刻，兩金屬板間的電壓U=100V，電場(chǎng)力做功W=q?

1

2

U，根據(jù)動(dòng)能定理求解粒子射出電場(chǎng)時(shí)速度的大��；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解得粒子射出電場(chǎng)時(shí)速度與初速度的關(guān)系式．粒子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，由牛頓定律求出半徑，由幾何關(guān)系證明d是不變量．
（3）粒子在電場(chǎng)中水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由板長(zhǎng)與初速度求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，與周期進(jìn)行比較，說明兩金屬板間的電場(chǎng)強(qiáng)度是不變的．

解答：解：
（1）在t=0.1s時(shí)刻，兩金屬板間的電壓U=100V，設(shè)粒子射出電場(chǎng)時(shí)的速度大小為v₁，根據(jù)動(dòng)能定理有
     q?

1

2

U=

1

2

mv12-

1

2

mv02
解得      v₁≈1.4×10⁵m/s                       
（2）帶電粒子射入磁場(chǎng)后的軌跡如右圖所示．設(shè)粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v₂，v₂與v₀的夾角為θ，則v2=

v0

cosθ

    ①
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律有
      qv2B=

m v 2 2

R

②
由①②式可求得R=

mv0

qBcosθ

則由幾何關(guān)系可求得d=2Rcosθ=

2mv0

qB

因?yàn)?span id="fhh9fzb" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

m

q

、v₀、B均為常量，所以d是一個(gè)不變量．      
（3）帶電粒子在金屬板間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

l

v0

≤2×10^-6s
設(shè)金屬板間電壓的變化周期為T，T=0.2s，t＜＜T
所以在每個(gè)粒子通過電場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間內(nèi)可以認(rèn)為兩極板間的電壓是不變的，若兩極板間的距離為L(zhǎng)，兩金屬板間的電場(chǎng)強(qiáng)度E=

U

L

因?yàn)閁、L均不變，所以可以認(rèn)為電場(chǎng)強(qiáng)度是不變的． 
答：（1）粒子射出電場(chǎng)時(shí)速度的大小是1.4×10⁵m/s；
    （2）d是一個(gè)不變量，證明見上．
    （3）證明見上．

點(diǎn)評(píng)：本題是組合場(chǎng)問題，綜合應(yīng)用動(dòng)能定理、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)以及幾何知識(shí)，中等難度．