Question

如圖甲所示，一正方形單匝線框abcd放在光滑絕緣水平面上，線框邊長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m、電阻為R．該處空間存在一方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其右邊界MN平行于ab，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的規(guī)律如圖乙所示，0～t₀時(shí)間內(nèi)B隨時(shí)間t均勻變化，t₀時(shí)間后保持B=B₀不變．

（1）若線框保持靜止，則在時(shí)間t₀內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱為多少？
（2）若線框從零時(shí)刻起，在一水平拉力作用下由靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₀線框cd邊剛要離開(kāi)邊界MN．則在此過(guò)程中拉力做的功為多少？
（3）在（2）的情況下，為使線框在離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中，仍以加速度a做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，試求線框在離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中水平拉力F隨時(shí)間t的變化關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）若線框保持靜止，由乙圖知，B均勻增大，穿過(guò)線框的磁通量均勻增加，產(chǎn)生恒定的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和焦耳定律求出焦耳熱；
（2）線框由靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出cd邊剛要離開(kāi)邊界MN速度大小，由動(dòng)能定理求在此過(guò)程中拉力做的功；
（3）設(shè)線框離開(kāi)磁場(chǎng)過(guò)程的時(shí)間為t′，由L=v₀t′+

1

2

at′2得到時(shí)間t′．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式v=at、感應(yīng)電流I=

B0Lv

R

、牛頓第二定律F-B₀IL=ma，聯(lián)立即可求得F與t的關(guān)系式．

解答：解：（1）線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=

△Φ

△t

=

B0L2

t0

在時(shí)間t₀內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱  Q=

E2

R

t0
解得 Q=

B 2 0 L 4

Rt0

（2）t₀時(shí)刻線框的速度v₀=at₀，得t0=

v0

a

在此過(guò)程中拉力做的功  W=

1

2

m

v

2 0

解得W=

1

2

ma2

t

2 0

（3）設(shè)線框離開(kāi)磁場(chǎng)過(guò)程的時(shí)間為t′，則有
  L=v₀t′+

1

2

at′2
解得 t′=

( v0 a )2+ 2L a

-

v0

a

將上題中t0=

v0

a

代入得 t′=

t 2 0 + 2L a

-t0
線框在離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的速度v=at
產(chǎn)生的感應(yīng)電流  I=

B0Lv

R

由牛頓第二定律有  F-B₀IL=ma
解得  F=

B 2 0 L2at

R

+ma（t₀≤t≤

t 2 0 + 2L a

）
答：
（1）在時(shí)間t₀內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱為

B 2 0 L 4

Rt0

．
（2）在此過(guò)程中拉力做的功為

1

2

ma2

t

2 0

．
（3）線框在離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中水平拉力F隨時(shí)間t的變化關(guān)系為解得 F=

B 2 0 L2at

R

+ma（t₀≤t≤

t 2 0 + 2L a

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了焦耳定律、法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律及焦耳定律等規(guī)律的應(yīng)用，同時(shí)要抓住圖象的信息，理解線框中磁通量的變化情況．