Question

“能量的比較”
如圖所示，在光滑絕緣水平面上有兩個(gè)帶電小球、，質(zhì)量分別為3m和m，小球帶正電q，小球帶負(fù)電-2q，開始時(shí)兩小球相距s₀，小球有一個(gè)水平向右的初速度v₀，小球的初速度為零，若取初始狀態(tài)下兩小球構(gòu)成的系統(tǒng)的電勢(shì)能為零，則
（1）試證明：當(dāng)兩小球的速度相同時(shí)系統(tǒng)的電勢(shì)能最大，并求出該最大值；
（2）試證明：在兩小球的間距仍不小于s₀的運(yùn)動(dòng)過程中，系統(tǒng)的電勢(shì)能總小于系統(tǒng)的動(dòng)能，并求出這兩種能量的比值的取值范圍。

Answer 1

解析：（1）由于兩小球構(gòu)成的系統(tǒng)合外力為零，設(shè)某狀態(tài)下兩小球的速度分別為和，由動(dòng)量守恒定律得 （1） （2分）所以，系統(tǒng)的動(dòng)能減小量為 （2） （1分）由于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中只有電場(chǎng)力做功，所以系統(tǒng)的動(dòng)能與電勢(shì)能之和守恒，考慮到系統(tǒng)初狀態(tài)下電勢(shì)能為零，故該狀態(tài)下的電勢(shì)能可表為 （3） （1分）聯(lián)立（1）、（3）兩式，得 （4）由（4）式得：當(dāng) （5） （2分）時(shí)，系統(tǒng)的電勢(shì)能取得最大值，而將（5）式代入（1）式，得 （6） （1分）即當(dāng)兩小球速度相同時(shí)系統(tǒng)的電勢(shì)能最大，最大值為 （7） （2分）（2）由于系統(tǒng)的電勢(shì)能與動(dòng)能之和守恒，且初始狀態(tài)下系統(tǒng)的電勢(shì)能為零，所以在系統(tǒng)電勢(shì)能取得最大值時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能取得最小值，為 （8） （2分）由于 （9）所以在兩球間距仍不小于的運(yùn)動(dòng)過程中，系統(tǒng)的電勢(shì)能總小于系統(tǒng)的動(dòng)能。（2分）在這過程中兩種能量的比值的取值范圍為 （10） （2分）