Question

4．如圖所示，一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細圓管，由支架豎直支立在水平地面上．環(huán)形細圓管的環(huán)形半徑為R（比細圓管的半徑大得多）．在環(huán)形細圓管中有A、B兩小球（可視為質(zhì)點）沿順時針方向運動．設A、B兩小球的質(zhì)量均為m，環(huán)形細圓管的質(zhì)量為2m，若A球以速率v₁運動到最低點時，B球恰以速率v₂運動到最高點，此刻支架對環(huán)形細圓管的支持力為mg．請導出v₁與v₂和R的關(guān)系式．

Answer 1

分析 若A球以速率v₁運動到最低點時，B球恰以速率v₂運動到最高點時支架對環(huán)形細圓管有支持力，說明B球運動到最高點時對管道有向上的壓力，管道對B球有向下的壓力．根據(jù)牛頓第二定律分別對A、B球進行列式，再結(jié)合細管力平衡求解．

解答 解：據(jù)題，A球以速率v₁運動到最低點時，B球恰以速率v₂運動到最高點時支架對環(huán)形細圓管有支持力，則知B球運動到最高點時對管道有向上的壓力，則管道對B球有向下的壓力．
根據(jù)牛頓第二定律得：
對A球有：N_A-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
對B球有：mg+N_B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
據(jù)題分析有：N_A-N_B=mg
聯(lián)立解得 ${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}$=gR
答：v₁與v₂和R的關(guān)系式為 ${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}$=gR．

點評 本題的關(guān)鍵是確定B球所受的彈力方向，再確定向心力的來源，由牛頓第二定律解答．