Question

在天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此距離較近，且相互繞行的行星稱(chēng)作雙星．已知行星A和行星B的質(zhì)量分別為m_A和m_B，行星C的質(zhì)量未知．若僅讓行星A和行星C保持一定距離組成雙星系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)₁．若讓行星B取代行星A和行星C保持相同距離組成雙星系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)₂．求行星C的質(zhì)量m_C．

Answer 1

分析：當(dāng)行星A和C組成雙星時(shí)，對(duì)行星A和行星C分別列出萬(wàn)有引力提供向心力方程．
當(dāng)行星B和行星C組成雙星時(shí)，對(duì)行星B列萬(wàn)有引力提供向心力方程．
聯(lián)立可得行星C的質(zhì)量．

解答：解：當(dāng)行星A和C組成雙星時(shí)，對(duì)行星A：
G

mAmC

l2

=mArA

4π2

T12

①
對(duì)行星C：
G

mAmC

l2

=mCrC

4π2

T12

②
又：l=r_A+r_C③
當(dāng)行星B和行星C組成雙星時(shí)，對(duì)行星B：
G

mBmC

l2

=mBrB

4π2

T22

④
又：l=r_B+r_C′⑤
聯(lián)立①②③④⑤解得：
mC=

mAT12-mBT22

T22-T12

答：行星C的質(zhì)量為mC=

mAT12-mBT22

T22-T12

點(diǎn)評(píng)：本題是萬(wàn)有引力提供向心力的周期表達(dá)式的應(yīng)用，整個(gè)題目都是練習(xí)這一個(gè)公式．