Question

如圖所示，在xoy平面內(nèi)的第一象限有一以PQ為邊界、沿y軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，在第四象限有垂直于xoy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B．某時(shí)有質(zhì)量和電荷量均為m、q的正粒子a、b同時(shí)從P點(diǎn)以垂直于y軸的速度進(jìn)入電場(chǎng)，速度大小分別為v₀、2v₀，b粒子從Q點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)．  P、Q的坐標(biāo)分別是（0，l）、（2l，0）．不計(jì)重力，不考慮粒子間的相互作用和可能發(fā)生的碰撞．
（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小
（2）調(diào)節(jié)磁感應(yīng)強(qiáng)度B使粒子b首次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間跟在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，設(shè)這一時(shí)間為T(mén)_O，求T_O及對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B
（3）在保持上述磁感應(yīng)強(qiáng)度不變的情況下，求當(dāng)a、b中的一個(gè)粒子第二次到達(dá)x軸時(shí)另一粒子的y坐標(biāo)，最終表達(dá)式的系數(shù)保留一位小數(shù)即可（半角公式cos

a

2

=

1+cosa 2

）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)b粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由已知PQ點(diǎn)坐標(biāo)，即知水平豎直方向的位移，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可求解；
（2）首次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間跟在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，利用在電場(chǎng)中的類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)即可求解，進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出軌跡，找出圓心角，根據(jù)洛倫茲力提供向心力即可求出B；
（3）利用類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的推論速度偏轉(zhuǎn)角的正切值是位移偏轉(zhuǎn)角正切值的2倍，即tanθ=2tanα即可求出a粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，出電場(chǎng)后未進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，也可求出其時(shí)間，比較兩時(shí)間可知，b粒子比a粒子早進(jìn)入磁場(chǎng)，從而便知誰(shuí)先第二次達(dá)到x軸，利用幾何關(guān)系即可求出坐標(biāo)．

解答：解：（1）以b為對(duì)象可知，由題意可得：
水平方向：x=2v₀t      ①
豎直方向：y=

qE

2m

t2     ②
由  x=2l   y=l，①②聯(lián)立得：E=

2mv02

ql

（2）由題意得  T₀=t     ③
①③聯(lián)立得：T0=

l

v0

   ③
粒子b進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與x軸夾角為θ，PQ與x軸的夾角為α，則tanθ=2tanα=

2×l

2l

=1
即θ=45⁰，運(yùn)動(dòng)軌跡為

1

4

圓周，設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，則T=4T_{0 ④}
由洛倫茲力提供向心力得：Bqv=m

v2

r

T=

2πR

v

得T=

2πm

Bq

      ⑤
③④⑤聯(lián)立得：B=

4lq

2πmv0

（3）由（2）b粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)速度方向與x軸夾角θ為45⁰
由tan45°=

vy

vx

=

gt

v0

可得
a粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間：ta1=

v0

g

=

1t

2

=

l

2v0

a粒子離開(kāi)電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)到x軸的時(shí)間：ta2=

3l

4v0

a粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x軸的時(shí)間：ta=ta1+ta2=

5l

4v0

=

5

4

T0
故：a粒子比b粒子晚進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間：△t=

1

4

T0
b粒子離開(kāi)磁場(chǎng)到達(dá)x軸時(shí)，a在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)了

3

4

T0，即到達(dá)圖中的R點(diǎn)
a進(jìn)入磁場(chǎng)的速度va=

2

v0（1分）
由qvB=m

v2

r

得：（1分）
ra=

mva

qB

=

2 2 l

π

R的y坐標(biāo)為：y=r_a（cos45°-cos22.5⁰）=-0.2l（1分）
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為E=

2mv02

ql

（2）調(diào)節(jié)磁感應(yīng)強(qiáng)度B使粒子b首次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間跟在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，T_O為T0=

l

v0

對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

4lq

2πmv0

（3）在保持上述磁感應(yīng)強(qiáng)度不變的情況下，當(dāng)a、b中的一個(gè)粒子第二次到達(dá)x軸時(shí)另一粒子的y坐標(biāo)為-0.2l．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，粒子垂直射入電場(chǎng)，在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要求同學(xué)們能畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解，知道半徑公式及周期公式，難度適中．