Question

10．“伽利略”木星探測(cè)器，從1989年10月進(jìn)入太空起，歷經(jīng)6年，行程37億千米，終于到達(dá)木星周?chē)�，此后在t秒內(nèi)繞木星運(yùn)行N圈后，對(duì)木星及其衛(wèi)星進(jìn)行考察，最后墜入木星大氣層燒毀，設(shè)這N圈都是繞木星在同一圈周上運(yùn)行，其運(yùn)行速率為v，探測(cè)器上的照相機(jī)正對(duì)木星拍攝整個(gè)木星時(shí)的視角為θ（如圖所示），設(shè)木星為一球體，求：
（1）木星探測(cè)器在上述圓形軌道上運(yùn)行時(shí)的軌道半徑；
（2）木星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)t秒內(nèi)繞木星運(yùn)行N圈得出木星探測(cè)器的周期，根據(jù)v=$\frac{2πr}{T}$得出木星探測(cè)器在上述圓形軌道上運(yùn)行時(shí)的軌道半徑；
（2）水平拋出的最小速度等于木星的第一宇宙速度，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得出第一宇宙速度的大小，根據(jù)探測(cè)器軌道半徑與線(xiàn)速度的關(guān)系，結(jié)合幾何關(guān)系得出第一宇宙速度的大�。�

解答 解：（1）探測(cè)器的線(xiàn)速度：v=$\frac{2πr}{T}$，
則探測(cè)器的軌道半徑：r=$\frac{vT}{2π}$，
由題意可知，周期：T=$\frac{t}{N}$，
解得：r=$\frac{vt}{2πN}$；
（2）探測(cè)器在圓形軌道上運(yùn)行時(shí)，萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
設(shè)木星的第一宇宙速度為：v₀，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{r}{R}}$v，
由題意可知：R=rsin$\frac{θ}{2}$，
解得：v₀=$\frac{v}{\sqrt{sin\frac{θ}{2}}}$；
答：（1）木星探測(cè)器在上述圓形軌道上運(yùn)行時(shí)的軌道半徑為$\frac{vt}{2πN}$；
（2）木星的第一宇宙速度為$\frac{v}{\sqrt{sin\frac{θ}{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力提供向心力，2、萬(wàn)有引力等于重力，并能靈活運(yùn)用．