Question

如圖所示，P為位于某一高度處的質(zhì)量為m的物塊，B為位于水平地面上的質(zhì)量為M的特殊長(zhǎng)平板，，平板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=2.00×10^-2。 在板的上表面上方，存在一定厚度的“相互作用區(qū)域”，如圖中畫虛線的部分，當(dāng)物塊P進(jìn)入相互作用區(qū)時(shí)，B便有豎直向上的恒力f作用于P，f=δmg，δ=51，f對(duì)P的作用使P剛好不與B的上表面接觸；在水平方向P、B之間沒(méi)有相互作用力。已知物塊P開(kāi)始自由落下的時(shí)刻，板B向右的速度為v₀=10.0m/s。P從開(kāi)始下落到剛到達(dá)相互作用區(qū)所經(jīng)歷的時(shí)間為T₀=2.00 s。設(shè)B板足夠長(zhǎng)，保證物塊P總能落入B板上方的相互作用區(qū)，取重力加速度g=9.80 m/s²。

問(wèn)：當(dāng)B開(kāi)始停止運(yùn)動(dòng)那一時(shí)刻，P?已經(jīng)回到過(guò)初始位置幾次？

Answer 1

解析：根據(jù)題意，在物塊P從開(kāi)始下落至剛進(jìn)入相互作用區(qū)的時(shí)間T₀內(nèi)，板在摩擦力作用下的加速度：A₀=。板速度的減少量：ΔV₁=A₀T₀。

    物塊P一旦進(jìn)入相互作用區(qū)，就受到板向上的作用力，做減速運(yùn)動(dòng)，物塊P剛進(jìn)入作用區(qū)的速度v₀=gT₀。設(shè)在相互作用區(qū)內(nèi)物塊P做減速運(yùn)動(dòng)的加速度為a，則由題意可得：a=，經(jīng)歷時(shí)間T，物塊剛要到達(dá)B板上表面，則v₀=aT。

在T時(shí)間內(nèi)，B板受到的摩擦力為μ（Mg+δmg)，在此摩擦力下的加速度為：A=。在這段時(shí)間內(nèi)，B板的速度減少量：Δv₂=AT。當(dāng)物塊P的速度減到零后，又開(kāi)始以加速度a向上加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)歷時(shí)間T跑出相互作用區(qū)。這段時(shí)間內(nèi)，B板減少的速度仍是Δv₂。物塊P離開(kāi)作用區(qū)后，做加速度為g的減速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)歷時(shí)間T₀，回到初始位置。這段時(shí)間內(nèi)，B板減少的速度為Δv₁，以后物塊P又從起始位置自由下落，重復(fù)以前的運(yùn)動(dòng)。B板的速度再次不斷減少�？偨Y(jié)以上分析可知：每當(dāng)物塊P完成一次從起始位置自由下落，進(jìn)入作用區(qū)后又離開(kāi)，最后回到起始位置的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，B板的速度減少的總量為：

Δv=2Δv₁+2Δv₂=2μgT₀+2μg（1+δ)T₀。

設(shè)在物塊P第n次回到起始位置時(shí)刻，B板的速度為v_n，則有

v_n=v₀-nΔv=v₀-2nμgT₀-2nμg（1+δ）T₀

    n越大，v_n越小。設(shè)當(dāng)n=n₀時(shí)，已十分小，致使在物塊P由n=n₀到n=n₀+1的過(guò)程中的某一時(shí)刻，B板的速度已減至零，若仍用上式，這表示當(dāng)n=n₀時(shí)，v_n0＞0。當(dāng)n=n₀+1時(shí)，v_n0+1＜0。即有v₀-2n₀μgT₀-2n₀Mg（1+δ）T₀＞0

    v₀-2（n₀+1）μgT₀-2（n₀+1）Mg（1+δ）T₀＜0

    代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得：n₀＜11.37和n₀＞10.37。因?yàn)閚₀為整數(shù)，故有n₀=11。

    所以，當(dāng)B開(kāi)始停止運(yùn)動(dòng)那一時(shí)刻，P已經(jīng)回到過(guò)初始位置11次。

答案：11次