Question

14．宇宙中存在由質量均為m的五顆星組成的五星系統，五星系統離其他恒星較遠，通�？珊雎云渌�星體對五星系統的引力作用，假設穩(wěn)定的五星系統存在的構成形式是：四顆星穩(wěn)定地分布在邊長為a的正方形的四個頂點上，第五顆星位于正方形對角線的交點，其余四顆星繞第五顆星座勻速圓周運動（已知引力常量為G）．
（1）根據題目描述將五星系統的情景畫出；
（2）設T₁為星體運行的周期，求$\frac{{a}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}$=$（\frac{5\sqrt{2}+2}{2}）\frac{Gm}{4{π}_{\;}^{2}}$（結果可保留根式）
（3）根據天文觀測，在距離第五顆星約幾百倍a的距離處，發(fā)現一顆小天體在以周期T₂繞第五顆星做勻速圓周運動，根據已知數據確定該小天體距離第五顆星較為準確的距離．

Answer 1

分析 五星系統具有對稱性，對于正方形頂點的任一顆星合力指向對角線的交點，根據牛頓第二定律和萬有引力定律列式即可求解；當小天體距離第五顆星幾百倍a，把五顆星視為一個質量為5m的質點，根據萬有引力提供向心力求距離．

解答 解：（1）

（2）對四個頂點上的任意一顆星，根據牛頓第二定律，有
$\sqrt{2}\frac{G{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}+\frac{G{m}_{\;}^{2}}{（\sqrt{2}a）_{\;}^{2}}+\frac{G{m}_{\;}^{2}}{（\frac{\sqrt{2}a}{2}）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}\frac{\sqrt{2}a}{2}$
解得：$\frac{{a}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=（\frac{5\sqrt{2}+2}{2}）\frac{Gm}{4{π}_{\;}^{2}}$
（3）設該小天體質量為m′，因為距五顆星幾百倍a處，所以五顆星可視為質量為5m的質點，根據萬有引力提供向心力有
$G\frac{5mm′}{{r}_{\;}^{2}}=m′\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}r$
解得$r′=\root{3}{\frac{5Gm{T}_{2}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$
答：（1）如上圖所示
（2）設T₁為星體運行的周期，則$\frac{{a}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}$為$（\frac{5\sqrt{2}+2}{2}）\frac{Gm}{4{π}_{\;}^{2}}$
（3）根據已知數據確定該小天體距離第五顆星較為準確的距離為$\root{3}{\frac{5Gm{T}_{2}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$

點評 本題關鍵是明確星球轉動的向心力來源，然后根據萬有引力定律、向心力公式和牛頓第二定律列式后聯立求解．