Question

如圖甲所示，在同一豎直平面內(nèi)有兩正對(duì)著的相同半圓光滑軌道，它們相隔一定的距離，虛線沿豎直方向，一小球能在期間運(yùn)動(dòng)．今在最高點(diǎn)A與最低點(diǎn)B各放一個(gè)壓力傳感器，測(cè)試小球?qū)�軌道的壓力，并通過(guò)計(jì)算機(jī)顯示出來(lái)．當(dāng)兩半圓軌道間距變化時(shí)，測(cè)得A，B兩點(diǎn)壓力差△F與距離x的圖象如圖乙所示，g取10m/s²，不計(jì)空氣阻力，求：
（1）小球的質(zhì)量m是多少？
（2）半圓軌道的半徑R是多少？
（3）若小球在最低點(diǎn)B的速度為20m/s，為使小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)，x的取值范圍為多少？

Answer 1

分析：（1）由機(jī)械能守恒及分別對(duì)A點(diǎn)和B點(diǎn)由向心力公式可求得壓力差與距離x的關(guān)系式，則可由圖象的截距求得物體的質(zhì)量；
（2）由圖象的斜率可求得光滑圓軌道的半徑；
（3）由機(jī)械能守恒定律及豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)臨界值可求得x的最大值．

解答：解：（1）設(shè)軌道半徑為R，由機(jī)械能守恒定律：

1

2

mvB2=mg(2R+x)+

1

2

mvA2--------------------------①
在B點(diǎn)：F_N1-mg=m

vB2

R

-----------------------------②
在A點(diǎn)：F_N2+mg=m

vA2

R

------------------------------③
由①②③式得：兩點(diǎn)的壓力差：△F_N=F_N1-F_N2=6mg+

2mgx

R

------④
由圖象得：截距  6mg=6，得m=0.1kg---------------------------⑤
物體的質(zhì)量為0.1kg；
（2）由④式可知：因?yàn)閳D線的斜率k=

2mg

R

=1
所以R=2m…⑥
半徑為2m；
（3）在A點(diǎn)不脫離的條件為：vA≥

gR

------------------------------⑦
由①⑥⑦三式和題中所給已知條件解得：x=15m--------------------------⑧
x的最大值為15m．
即x≤15m
答：（1）小球的質(zhì)量m是0.1kg；
（2）半圓軌道的半徑R是2m；
（3）若小球在最低點(diǎn)B的速度為20m/s，為使小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)，x的取值范圍為x≤15m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查機(jī)械能守恒的應(yīng)用及豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界值的應(yīng)用，此類題型為常見(jiàn)題型，應(yīng)熟練掌握．