Question

15．如圖所示，在x軸上方有垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在x下方有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E．一質(zhì)量為m、電量為-q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)沿著y軸正方向射出，射出之后，第三次到達(dá)x軸時(shí)，它與原點(diǎn)O的距離為L(zhǎng)（重力不計(jì)），求：
（1）判斷粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)類型；
（2）畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡；
（3）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑；
（4）此粒子射出時(shí)的速度；
（5）運(yùn)動(dòng)的總路程；
（6）運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）（2）（3）（4）粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，受洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中受到電場(chǎng)力，做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，即勻減速運(yùn)動(dòng)到零再返回；作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合軌道半徑求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度；
（5）通過圓周運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度以及在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的路程求出運(yùn)動(dòng)的總路程；
（6）由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的周期求解磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可得到總時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，靠洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（半周）；
粒子在電場(chǎng)中，受電場(chǎng)力，做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，勻減速到零后勻加速返回；
（2）結(jié)合幾何關(guān)系畫出軌跡，如圖所示：

（3）因?yàn)榈谌�次到達(dá)x軸時(shí)，它與點(diǎn)O的距離為L(zhǎng)，則有：L=4R；
故R=$\frac{L}{4}$
（4）設(shè)粒子初速度為v，洛倫茲力提供向心力，有：
$qvB=m\frac{v^2}{R}$
解得：v=$\frac{BqL}{4m}$
（5）設(shè)粒子進(jìn)入電場(chǎng)作減速運(yùn)動(dòng)的最大路程為l，加速度為a，
v²=2al
qE=ma
解得在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的路程s=2l=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{m{v}^{2}}{qE}$=$\frac{{q{B^2}{L^2}}}{16mE}$
粒子運(yùn)動(dòng)的總路程 s=2πR+2l=2πR+$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{16mE}$=$\frac{πL}{2}$+$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{16mE}$．
（6）粒子在電場(chǎng)作勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度為a=$\frac{qE}{m}$
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t₁=$\frac{2v}{a}$=$\frac{BL}{2E}$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間是一個(gè)周期，為 t₂=T=$\frac{2πm}{qB}$
故t=$\frac{2πm}{qB}$+$\frac{BL}{2E}$
答：（1）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中做勻變速直線運(yùn)動(dòng)；
（2）如圖所示；
（3）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為$\frac{L}{4}$；
（4）此粒子射出時(shí)的速度為$\frac{BqL}{4m}$；
（5）運(yùn)動(dòng)的總路程為$\frac{πL}{2}$+$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{16mE}$；
（6）運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為$\frac{2πm}{qB}$+$\frac{BL}{2E}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在磁場(chǎng)中的題目關(guān)鍵在于明確圓心和半徑，注意要根據(jù)題意找出合理的運(yùn)動(dòng)過程，從而得出正確的結(jié)論．