Question

5．如圖所示，在邊界OO′左側有一垂直紙面向里的勻強磁場，磁場的磁感應強度為B₀，磁場中有一個正方形單匝線圈abcd，線圈平面在紙面里且線圈bc邊與OO′重合，線圈邊長為L，每邊電阻均為R，試求：
（1）讓線圈繞ad邊以角速度ω勻速轉動，求線圈從圖示位置轉過60°時通過線圈截面的電量以線圈轉動一周線圈中產生的電流的有效值；
（2）讓線圈繞bc邊以角速度ω勻速轉動，求線圈從圖示位置轉過一周線圈中產生的電流的有效值及線圈中產生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）線圈轉動過程中產生感應電動勢，求流過電阻截面的電荷量用電流的平均值，根據交流電產生的正弦交流電的特點判斷出有效值；
（2）根據電流的熱效應求得電流的有效值，根據焦耳定律求得產生的焦耳熱

解答 解：（1）讓線圈繞ad邊以角速度ω勻速轉動，線圈從圖示位置轉過60°，線圈中磁通量的變化量為：
$△∅={B}_{0}{L}^{2}-{B}_{0}{L}^{2}cos60°=\frac{1}{2}{B}_{0}{L}^{2}$
平均感應電動勢為：
$\overline{E}=\frac{△∅}{△t}$
通過導體截面的電荷量為：
$q=\overline{I}△t=\frac{△∅}{4R}=\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{8R}$
產生的感應電動勢為：
${E}_{m}={B}_{0}{L}^{2}ω$
產生的感應電動勢的有效值為：
$E=\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{{B}_{0}{L}^{2}ω}{\sqrt{2}}$
電流的有效值為：
$I=\frac{E}{4R}=\frac{\sqrt{2}{B}_{0}{L}^{2}ω}{8R}$
（2）讓線圈繞bc邊以角速度勻速轉動，有電流的熱效應可知：
$I{′}^{2}（4R）T={I}^{2}（4R）•\frac{T}{2}+0$
解得：$I′=\frac{{B}_{0}{L}^{2}ω}{8R}$
根據焦耳定律，轉動一周產生的焦耳熱為：
Q=I′²（4R）T=$\frac{π{ωB}_{0}^{2}{L}^{4}}{8R}$
答：（1）線圈從圖示位置轉過60°時通過線圈截面的電量以線圈轉動一周線圈中產生的電流的有效值分別為$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{8R}$和$\frac{\sqrt{2}{B}_{0}{L}^{2}ω}{8R}$；
（2）線圈從圖示位置轉過一周線圈中產生的電流的有效值及線圈中產生的焦耳熱分別為$\frac{{B}_{0}{L}^{2}ω}{8R}$和$\frac{π{ωB}_{0}^{2}{L}^{4}}{8R}$

點評 線框在勻強磁場中勻速轉動，產生正弦式交變電流．產生的熱量均由交變電的有效值來確定．而通過某一電量時，則用平均值來求．同時注意磁場只有一半．