Question

示波器的核心部分為示波管，如圖中甲所示，真空室中電極K發(fā)出電子（初速不計），經過電壓為U₁的加速電場后，由小孔S沿水平金屬板A、B間的中心線射入板中．板長L，相距為d，在兩板間加上如圖乙所示的正弦交變電壓，前半個周期內B板的電勢高于A板的電勢，電場全部集中在兩板之間，且分布均勻．在每個電子通過極板的極短時間內，電場可看作恒定的．在兩極板右側且與極板右端相距D處有一個與兩板中心線垂直的熒光屏，中心線正好與屏上坐標原點相交．當第一個電子到達坐標原點O時，使屏以速度v沿-x方向運動，每經過一定的時間后，在一個極短時間內它又跳回到初始位置，然后重新做同樣的勻速運動． （已知電子的質量為m，帶電量為e，不計電子重力）．求：
（1）電子進入A、B板時的初速度；
（2）要使所有的電子都能打在熒光屏上，圖乙中電壓的最大值U₀需滿足什么條件？
（3）要使熒光屏上始終顯示一個完整的波形，熒光屏必須每隔多長時間回到初始位置？計算這個波形的峰值和長度．在如圖丙所示的x-y坐標系中畫出這個波形．

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求電子加速后的速度，即進入A、B板時的初速度；
（2）電子射入A、B板間，電場可看作恒定的，電子做類平拋運動，離開電場后做勻速直線運動，當偏轉電壓最大時粒子能打在屏上則所有電子都可以打在屏上，此時電場中偏轉距離等于

d

2

．根據牛頓第二定律和運動學公式結合求解電壓的最大值U₀需要滿足的條件；
（3）要保持一個完整波形，需每隔周期T回到初始位置．根據偏轉距離和偏轉角度的表達式，求出電子離開電場時速度的延長線與初速度延長線交點的位置，運用三角形相似法，求出電子在熒光屏上最大偏轉距離，即得到波形的峰值．波形長度為x₁=vT，再畫出波形圖．

解答：解：（1）電子在加速電場中運動，據動能定理有：
   eU1=

1

2

m

v

2 1

，得 v1=

2eU1 m

．
（2）因為每個電子在板A、B間運動時，電場可看作恒定的，故電子在板A、B間做類平拋運動，在兩板之外做勻速直線運動打在屏上．
在板A、B間沿水平方向運動時有 L=v_lt   
豎直方向有 y′=

1

2

at ²，且a=

eU

md

  
聯立解得電子通過電場后偏轉距離為  y′=

eUL2

2md v 2 1

 
設偏轉電壓最大值為U₀，則 y_m′=

eU0L2

2md v 2 1

＜

d

2

 
得 U₀＜

2d2U1

L2

（3）要保持一個完整波形，需每隔周期T回到初始位置．
設某個電子運動軌跡如圖2所示，有 tanθ=

v2

v1

=

eUL

md v 2 1

=

y′

L′

，

又知 y′=

eUL

2md v 2 1

，聯立得L′=

L

2

由相似三角形的性質得

L 2 +D

L 2

=

ym

ym′

則峰值 ym=

L+2D

L

y

′ m

=

(L+2D)LU0

4dU1

．
波形長度為x₁=v T   波形如圖3所示

答；
（1）電子進入A、B板時的初速度為

2eU1 m

；
（2）要使所有的電子都能打在熒光屏上，圖乙中電壓的最大值U₀需滿足U₀＜

2d2U1

L2

．
（3）要保持一個完整波形，需每隔周期T回到初始位置．波形如圖3所示．

點評：帶電粒子在電場中的運動，在近幾年高考考查中頻率較高，多次出現帶電粒子在交變電場中運動的題目，縱觀這些題目，所涉及的情景基本相同，但命題往往擬定不同的題設條件，多角度提出問題，多層次考查能力．解決這類問題要從受力分析入手，分清各個物理過程，弄清帶電粒子運動情境，應用力學規(guī)律，借助圖象，定性分析、定量討論，并注意思維方法和技巧的靈活運用．