Question

如圖所示，光滑的水平面AB（足夠長）與半徑為R=0.8m的光滑豎直半圓軌道BCD在B點相切，D點為半圓軌道最高點。A點的右側等高地放置著一個長為L=20m、逆時針轉動速度為v₀=10m/s的傳送帶。用輕質細線連接甲、乙兩物體，中間夾一輕質彈簧，彈簧與甲乙兩物體不栓接。甲的質量為m₁=3kg，乙的質量為m₂=1kg，甲、乙均靜止在光滑的水平面上。現固定乙球，燒斷細線，甲離開彈簧后進入半圓軌道并可以通過D點，且過D點時對軌道的壓力恰好等于甲的重力。傳送帶與乙物體間摩擦因數為0.6，重力加速度g取l0m/s²，甲、乙兩物體可看作質點。

（1）求甲球離開彈簧時的速度。
（2）若甲固定，乙不固定，細線燒斷后乙可以離開彈簧后滑上傳送帶，求乙在傳送帶上滑行的最遠距離。
（3）甲乙均不固定，燒斷細線以后，求甲和乙能否再次在AB面上水平碰撞？若碰撞，求再次碰撞時甲乙的速度；若不會碰撞，說明原因。

Answer 1

（1） （2）12m,    (3)

試題分析：（1）甲離開彈簧以后，機械能守恒：
    （6分）
能量守恒得 得(2分)
之后乙滑上傳送帶勻減速運動 得（2分）
至速度為零時離A端最遠，最遠距離為：
（2分） 
即乙在傳送帶上滑行的最遠距離為12m.
甲乙分離瞬間動量守恒： 
甲乙彈簧系統(tǒng)能量守恒：
解得：（4分）
之后甲沿軌道上滑，設上滑最高點高度為h,則 得（2分）
則甲上滑不到等圓心位置就會返回，返回AB面上速度仍然是（1分）
乙滑上傳送帶，因，則乙先向右做勻減速運動，后向左勻加速。
由對稱性可知返回AB面上速度仍然為（1分）。