Question

11．地球的兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量之比m₁：m₂=1：2，軌道半徑之比r₁：r₂=1：2．求：
（1）線速度之比$\sqrt{2}$：1．
（2）角速度之比2$\sqrt{2}$：1．
（3）向心力之比2：1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力，產(chǎn)生的效果公式可得出線速度和軌道半徑的關(guān)系，可得結(jié)果；
（2）根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得線速度和角速度以及半徑的關(guān)系，直接利用上一小題的結(jié)論，簡化過程；
（3）根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力可得向心力和質(zhì)量以及半徑的關(guān)系．

解答 解：設(shè)地球的質(zhì)量為M，兩顆人造衛(wèi)星的線速度分別為V₁、V₂，角速度分別為ω₁、ω₂，運(yùn)行周期分別為T₁、T₂，向心力分別為F₁、F₂；
（1）根據(jù)萬有引力和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律  $G\frac{mM}{r^2}=m\frac{V^2}{r}$  得 $V=\sqrt{\frac{GM}{r}}$
所以：$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}=\sqrt{\frac{\frac{GM}{{r}_{1}}}{\frac{GM}{{r}_{2}}}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}=\sqrt{\frac{2}{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{1}$
 故二者線速度之比為  $\sqrt{2}：1$．
（2）根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律          v=ωr    得 $ω=\frac{v}{r}$      
所以：$\frac{ω_1}{ω_2}=\frac{V_1}{V_2}•\frac{r_2}{r_1}=\frac{{2\sqrt{2}}}{1}$
 故二者角速度之比為  $2\sqrt{2}：1$．
（3）根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力公式  $F=G\frac{mM}{r^2}$
所以：$\frac{F_1}{F_2}=\frac{m_1}{m_2}•\frac{r_2^2}{r_1^2}=\frac{2}{1}$
 故二者向心力之比為 2：1．
故答案為：（1）$\sqrt{2}$：1�。�2）2 $\sqrt{2}$：1　（3）2：1

點(diǎn)評(píng) 此題利用簡單的條件考查了人造衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度，角速度，周期和向心力之比．具有一定的遞進(jìn)性質(zhì)，可直接利用上一小題的結(jié)論簡化過程．如果不敢保證成功率，可以每一小題都用萬有引力和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律的關(guān)系來解，不過都和第一小題類似，轉(zhuǎn)換公式的次數(shù)較多，且不易合理安排卷面．此為中檔題．