Question

有一個(gè)固定豎直放置的圓形軌道，半徑為R，由左右兩部分組成．如圖所示，右半部分AEB是光滑的，左半部分BFA是粗糙的．現(xiàn)在最低點(diǎn)A給一質(zhì)量為M的小球一個(gè)水平向右的初速度，使小球沿軌道恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)B，小球在B點(diǎn)又能沿BFA回到A點(diǎn)，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為4mg．
 （1）在求小球在A點(diǎn)的速度v0時(shí)，甲同學(xué)的解法是：由于小球恰好到達(dá)B點(diǎn)，故在B點(diǎn)小球的速度為零，

1

2

m

v

2 0

=2mgR，所以v0=2

gR

．
（2）在求小球由BFA回到A點(diǎn)的速度時(shí)，乙同學(xué)的解法是：由于回到A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為4mg，故4mg=

m v 2 A

R

，所以vA=2

gR

． 你同意兩位同學(xué)的解法嗎？如果同意請(qǐng)說明理由；若不同意，請(qǐng)指出他們的錯(cuò)誤之處，并求出結(jié)果．
（3）根據(jù)題中所描繪的物理過程，求小球由B經(jīng)F回到A的過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：（1）甲同學(xué)的解法是錯(cuò)誤的，小球在最高點(diǎn)的臨界速度不是零，靠重力提供向心力，求出臨界速度，再根據(jù)動(dòng)能定理求出小球在A點(diǎn)的初速度．
（2）乙同學(xué)的解法是錯(cuò)誤的，在A點(diǎn)是豎直方向上的合力提供向心力，不是支持力提供向心力．根據(jù)牛頓第二定律求出回到A點(diǎn)的速度．
（3）對(duì)小球由B經(jīng)F回到A的過程中運(yùn)用動(dòng)能定理求出小球由B經(jīng)F回到A的過程中克服摩擦力所做的功．

解答：解：不同意，兩位同學(xué)的解法都錯(cuò)誤，甲同學(xué)認(rèn)為最高點(diǎn)的臨界速度為零，實(shí)際上在最高點(diǎn)的臨界情況是彈力為零，靠重力提供向心力，有最小速度．乙同學(xué)認(rèn)為在最低點(diǎn)是支持力提供向心力，實(shí)際上時(shí)豎直方向上的合力提供向心力．
（1）小球恰好到達(dá)B點(diǎn)，在B點(diǎn)小球的速度不為零．
小球由AEB到B點(diǎn)的速度時(shí)mg=m

vB2

R

，vB=

gR

由動(dòng)能定理

1

2

mvB2-

1

2

mv02=-mg?2R，得v0=

5gR

．
（2）由于回到A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力為4mg，小球受到的合力并不是4mg．
根據(jù)牛頓定律：4mg-mg=m

vA2

R

，vA=

3gR

．
（3）小球由B經(jīng)F回到A的過程中，
由2mgR-Wf=

1

2

mvA2-

1

2

mgR和vA=

3gR

得W_f=mgR．
答：（1）小球在A點(diǎn)的速度為

5gR

．
（2）回到A點(diǎn)的速度為

3gR

．
（3）小球由B經(jīng)F回到A的過程中克服摩擦力所做的功為mgR．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵掌握小球在內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的臨界情況，以及知道做圓周運(yùn)動(dòng)徑向的合力提供向心力．